Enunciado

A figura mostra o diagrama tensão-deformação para duas barras de poliestireno. Se a área da seção transversal da barra AB for 950 mm² e a de BC for 2.500mm², determine a maior força P que pode ser suportada antes que qualquer dos elementos sofra ruptura. Considere que não ocorre nenhuma flambagem.

Passo 1

Oláaa, querido! Tá bem?

Então, ele deu esse gráfico que mostra o comportamento do material que forma a estrutura. O gráfico mostra que a tensão de ruptura quando o material está sob compressão é σ c = 175   M P a e a tensão de ruptura para a tensão de tração é σ t = 35   M P a .

Aí ele quer saber o maior valor de P para que não haja ruptura.

Como a gente faz isso? Bem, a gente vai descobrir a força normal interna em cada uma das barras, vê qual está em tração e qual está em compressão. E usar essas tensões limites para saber o valor de P .

Bora lá!

Passo 2

Primeira coisa é achar as forças nas barras. Olha nosso diagrama de corpo livre:

Percebe que a gente colocou as forças que queremos achar logo na direção das forças normais a cada barra, e na seção cortada de cada barra. Aí fica mais tranquilo ver quem é força de compressão e quem é de tração.

E que a gente viu que o comprimento de A B é 1,5   m , porque A B C é um triângulo do tipo 3/4/5.

Passo 3

Vamos aplicar a equação de momento para C considerando o anti-horário positivo:

∑ M c = 0 → - 1,2 P + 0,9   F a b   s e n   θ = 0

O seno a gente acha pelo triângulo A B C . Dele temos que

s e n   θ = 1,2 1,5

Substituindo:

- 1,2 P + 0,9   F a b   1,2 1,5 = 0

F a b = 1,667 P

Percebe que como deu positivo, a orientação que a gente escolheu é a real. E como o nosso vetor F a b entra na seção da barra, ela é uma força de compressão.

Passo 4

Agora o equilíbrio na direção horizontal:

∑ F x = 0 → F a b sen ⁡ θ - F c b = 0

F a b × 1,2 1.5 - F c b = 0

Substitiundo a expressão de F a b que temos:

1,667 P × 1,2 1.5 - F c b = 0

F c b = 1,333 P

Como deu positivo, nosso vetor F c b está na direção certa. E já que ele sai da seção, temos tração em C B .

Passo 5

Belezinha, agora que a gente tem a expressão das forças em cada barra, vamos achar os canditados para valores máximos de P pela tensão de ruptura de cada barra.

A barra A B está sofrendo compressão, então a tensão de ruptura dela é

σ c = 175   M P a

Substituindo isso na expressão da tensão média:

σ c = F a b A a b

Substituindo as expressões que a gente tem e isolando P :

175   M P a = 1,667 P 950   m m 2

P = 99730   N

Esse é o valor de P máximo para essa barra não romper.

Passo 6

Fazendo o mesmo para B C sabendo que ela está em tração, então:

σ t = 35   M P a

σ t = F c b A c b

Substituindo as expressões que a gente tem e isolando P :

35   M P a = 1,333 P 2500   m m 2

P = 65641   N

O maior valor de P entre as nossas duas opções deixa uma barra no limite de romper mais a a outra já fica depois desse limite, ou seja, a estrutura deixa de funcionar. Já o menor P deixa uma barra no limite e a outra fica deboas, então é esse que a gente escolhe.

Logo o maior valor de P que podemos ter para essa estrutura é

P = 65641   N = 65,64   k N

Resposta

P = 65,64   k N

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