Enunciado

A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A - 36 . Se for submetida a uma força axial de 150   k N , determine o diâmetro exigido para cada haste, de modo que 1 / 4 da carga seja suportada pelo concreto e 3 / 4 , pelo aço.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo certo? Nossa meta aqui é encontrar os diâmetros de cada haste de aço, uma fórmula que relaciona a área do material com o esforço resistido é a fórmula do deslocamento, a gente vai usar ela pra encontrar a área do aço e enfim o diâmetro de cada haste, ok?

δ = F L E A

Bacana, mas como isso me ajuda? Bom os materiais precisam trabalhar em perfeita aderência, já pensou se o aço deformasse mais ou menos que o concreto? Então quando a gente aplica uma carga, mesmo que cada material resista a uma parcela diferente, eles precisam ter o mesmo deslocamento. Com isso temos a equação de compatibilidade:

δ c o n c r e t o = δ a ç o

Legal, temos uma relação entre os dois materiais. O enunciado também nos disse a parcela da carga que cada material resistia, sendo assim a gente pode já calcular aqui já que serão super necessárias pra resolver a questão.

O concreto resiste a 1/4 da carga.

F c o n c = 150   k N 4

F c o n c = 37,5   k N

Para as hastes de aço, as relações de carga-carregamento devem ser de 3 / 4 .

F a ç o = 3 × 150   k N 4

F a ç o = 112,5   k N

Passo 2

Bom definido nosso objetivo bora partir pra equação de compatibilidade dos deslocamentos.

δ a ç o = δ c o n c

Lembrando que:

δ = F L E A

Então a gente vai ter:

F a ç o L E a ç o A a ç o = F c o n c L E c o n c A c o n c

Beleza, mas quem é cada parâmetro aí?

As forças foram calculadas no passo 1, e são uma parcela da carga total.

F c o n c = 37,5   k N

F a ç o = 112,5   k N

O módulo de elasticidade do aço A-36 como indicado, pode ser encontrado nas tabelas do livro e tem valor:

E a ç o = 200 G P a  

O módulo de elasticidade do concreto não nos foi informado, sendo assim pode se adotar um valor genérico pois existem várias classes de concreto. Aqui adotaremos:

E c o n c = 29 G P a

E por fim as áreas, e repare que aqui a área do concreto vai ser dada por:

A c o n c = π d 2 4 - A a ç o = π 200 2 4 - A a ç o

A c o n c = 31,416 × 10 3 - A a ç o m m 2

E a área de aço é o que a gente e vamos deixa-la como incógnita para no fim isolarmos o diâmetro, beleza?

Passo 3

Voltando a equação de compatibilidade, a gente pode substituir todo mundo e como o comprimento L é igual para ambos os materiais a gente pode dividir os dois lados da equação por L para eliminá-lo das nossas continhas.

F a ç o E a ç o A a ç o = F c o n c E c o n c A c o n c

E para encontrar uma relação com a área de aço, a gente pode rearrumar a continha dessa forma.

F a ç o E c o n c A c o n c F c o n c E a ç o = A a ç o

Substituindo toda nossa galera.

112,5 × 29 × 31,416 × 10 3 - A a ç o 37,5 × 200 = A a ç o  

0,435 × 31,415 × 10 3 - A a ç o = A a ç o

E a gente pode passar esse valor dividindo a área de aço, e enfim conseguiremos isolar.

31,416 × 10 3 = A a ç o 0,435 + A a ç o

31,416 × 10 3 = 3,3 A a ç o

E assim a gente tem:

31,416 3,3 × 10 3 = A a ç o

A a ç o = 9,52 × 10 3 m m 2

Como são 6 hastes, a gente precisa dividir por 6 para achar a área de cada haste.

A h a s t e = A a ç o 6 = 9,52 6 × 10 3 = 1,59 × 10 3 m m 2

E como a área de uma seção circular é dada por:

A = π d 2 4

A gente pode dizer que:

d = 4 A π

Substituindo:

d = 4 × 1,59 × 10 3 π = 44,99 m m

Enfim conseguimos.

d a ç o = 44,99 m m

Resposta

d a ç o = 44,99 m m

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