Enunciado

O hemisfério de raio r é feito de uma pilha de placas muito finas de modo que a densidade varia com a altura, ρ = k z , onde k é uma constante. Determine sua massa e a distância z - até o centro de massa G .

Passo 1

Bora, aqui é aquela parada de sempre! Dividimos o sólido em disquinhos infinitesimais, calculamos a massa de cada um pra poder integrar e achar a massa total.

d m = ρ π y 2 d z

A gente relaciona y e z pela figura com o teorema de Pitágoras:

z 2 + y 2 = r 2

y 2 = r 2 - z 2

Como ρ = k z , vai ficar:

d m = k z π r 2 - z 2 d z

d m = k π r 2 z - z 3 d z

Passo 2

Show! A massa vai ser a integral das massinhas!

m = ∫ d m = ∫ k π r 2 z - z 3 d z

O z tá variando de 0 até r , então esses vão ser nossos limites de integração.

m = k π ∫ 0 r r 2 z - z 3 d z

m = k π r 2 z 2 2 - z 4 4 0 r

m = k π r 4 2 - r 4 4

m = k π r 4 4

Passo 3

Agora podemos aplicar a fórmula que nos dá a posição do centroide, já que ele está localizado sobre o eixo z , pela simetria.

z - = ∫ z - d m ∫ d m

O denominador a gente já tem do passo 2, então falta só calcular o numerador.

∫ z - d m = ∫ z k π r 2 z - z 3 d z = k π ∫ 0 r r 2 z 2 - z 4 d z

∫ z - d m = k π r 2 z 3 3 - z 5 5 0 r

∫ z - d m = k π r 5 3 - r 5 5

∫ z - d m = 2 k π r 5 15

Aí a gente termina substituindo!

z - = ∫ z - d m ∫ d m = 2 k π r 5 15 k π r 4 4

z - = 8 15 r

Resposta

z - = 8 15 r

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5- Determine, por integração direta, a coordenada y do centroide da área sombreada.
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8- Determine as coordenadas do centroide da área sombreada.
7- Determine a coordenada y do centroide da área sob a curva senoidal mostrada.
12- Determine as coordenadas x e y do centroide da área sombreada.