Enunciado

O homem consegue remar o barco na água parada com uma velocidade escalar de 5 m/s. Se o rio esta fluindo a 2 m/s, determine a velocidade escalar do barco e o ângulo θ que ele deve direcionar o barco de maneira que ele se desloque de A para B.

Passo 1

O homem consegue remar o barco a uma velocidade escalar de 5 m/s quando o não está fluindo, o que significa que o módulo velocidade relativa do barco em relação ao fluxo do rio será v b / w = 5 m/s. O seu ângulo de direção da velocidade do barco v b é α = tan - 1 ⁡ 50 25 = 63,43°.

As velocidades da aguá, do barco e a velocidade relativa devem ser exepressas vetorialente de acordo com as suas coordenadas cartesianas, de forma que:

v - b / w = 5 cos ⁡ θ i +   5 sin ⁡ θ j m s (1)

v - w = 2 i m s =     m / s (2)

v - b = v b cos ⁡ 63,43 ° i +   v b sin ⁡ 63,43 ° j m s =   0,4472 v b i + 0,8944 v b j   m / s (3)

Passo 2

Sabendo que a equação da velocidade relativa do barco em relação a aguá é dada por :

v - b = v - w + v - b / w (4)

Deve-se substituir (1), (2) e (3) em (4), de forma que:

0,4472 v b i + 0,8944 v b j = 2 i + ( 5 cos ⁡ θ i + 5 sin ⁡ θ j )

0,4472 v b i + 0,8944 v b j = 2 + 5 cos ⁡ θ i +   5 sin ⁡ θ j

Para a solução do problema deve-se montar um sistemas de equações de acordo com os versores i e j. De forma que :

0,4472 v b = 2 + 5 cos ⁡ θ   ( 5 )   0,8944 v b =   5 sin ⁡ θ     ( 6 )

Passo 3

Deve-se solucionar os sistemas de equações (5) e (6) de forma a se obter o módulo da velocidade do barco v b e seu ângulo de direcionamento θ .

De forma que dividindo (5) por (6) :

1 2 = 2 + 5 cos ⁡ θ 5 sin ⁡ θ

5 sin ⁡ θ = 4 + 10 cos ⁡ θ

5 sin ⁡ θ - 10 cos ⁡ θ   = 4 (7)

Ângulo θ é obtido pelo método de tentativa e erro aplicado a (7), de forma que :

θ = 84,4 °

E substituindo θ em (6), têm-se que :

0,8944 v b =   5 sin ⁡ 84,4 °

v b =   5,56   m / s

Resposta

De acordo com os passos 1, 2 e 3 o ângulo θ ao qual o barco deve ser direcionado de maneira que ele se desloque de A para B será:

θ = 84,4 °

E a velocidade escalar do barco será:

v b =   5,56   m / s

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