Enunciado

Em uma investigação do “efeito de chicote” resultante de colisões trasieras, a rotação brusca da cabeça é modelada utilizando uma esfera maciça homogênea de massa m e raio r que gira em torno de um eixo tangente (no pescoço) para representar a cabeça. Se o eixo em O recebe uma aceleração constante a com a cabeça inicialmente em repouso, determine expressões para a aceleração angular inicial α da cabeça e sua velocidade angular ω em função do ângulo θ de rotação. Assuma que o pescoço está relaxado de modo que nenhum momento é aplicado à cabeça em O .

Passo 1

Vamos começar procurando uma expressão para a aceleração angular inicial. Para isso vamos descobrir como ela se relaciona com a aceleração do centro de massa G :

a → G = a → O + a → G / O

Essa equação te diz que a aceleração do centro de massa é a aceleração do ponto O (que foi dada pelo ennciado) somada vetorialmente à aceleração de G em relação ao ponto O .

Assim que ocorre a colisão traseira, a cabeça será jogada para trás” com aceleração angular α em torno do ponto O onde ela está presa ao pescoço:

Então podemos escrever nossa equação da seguinte forma:

a → G = a → O + a → G / O

Tirando o módulo dos dois lados:

a G = a - r α

Essa é nossa primeira equação, precisamos achar algum jeito de substituir a G , para que possamos encontrar α .

Passo 2

O enunciado também disse que o pescoço está relaxado de modo que nenhum momento é aplicado à cabeça em O , ou seja:

∑ M O = 0

E agora vamos igualar isso à expressão para a soma de momentos em torno de um ponto qualquer em um corpo rígido (que nesse caso é a cabeça):

∑ M O = I - α - m a - d

O momento de inércia da esfera em relação a um eixo que passa por O é:

I - = 2 5 m r 2

E nesse caso a distância d entre O e G (centro de massa) é o raio r da esfera e a - = a G :

0 = 2 5 m r 2 α - m a G r

E o sinal negativo apareceu porque (conforme o nosso desenho), o momento associado a a G favorece a rotação no sentido oposto a α .

2 5 m r 2 α = m a G r

a G = 2 5 r α

Podemos substituir isso na equação de cima para encontrar α :

a G = a - r α

2 5 r α + r α = a

α = 5 a 7 r

Passo 3

Agora queremos encontrar uma expressão para a velcidade angular ω em função do ângulo θ . Em geral, quando queremos encontrar ω ( θ ) , precisamos usar a seguinte equação:

ω   d ω = α   d θ

Ou seja, precisamos encontrar uma função α ( θ ) que sejá válida para qualquer instante, não apenas o inicial.

Então vamos escrever outra equação de momentos em relação ao ponto O . Nesse caso, todas as forças no contato do pescoço terão momento nulo, e ficaremos apenas com o momento da força peso:

∑ M O = m g sen ⁡ θ r

Agora vamos montar o resto da equaçao:

∑ M O = I - α - ∑ m a G d

E o sinal negativo aparece pelo mesmo motivo de antes. Além disso, podemos usar a expressão que já conhecemos para a G :

a G = a - r α

∑ M O = I -   α m - m a r cos ⁡ θ + m r 2 α

m g sen ⁡ θ r = 2 5 m r 2 α - m a r cos ⁡ θ + m r 2 α

Agora vamos dividir tudo por m r e isolar α :

g sen ⁡ θ = α 2 5 r + r - a cos ⁡ θ

7 5 α r = g sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ

α = 5 7 r g sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ

Passo 4

E agora vamos substituir essa função α ( θ ) na equação de cima:

ω   d ω = α   d θ

ω   d ω = 5 7 r g sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ   d θ

E agora vamos integrar, fazendo ω ir de ω = 0 até ω , e θ ir de 0 até um θ qualquer:

∫ 0 ω ω   d ω = ∫ 0 θ 5 7 r g sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ   d θ

ω 2 2 = 5 7 r   ∫ 0 θ g sen ⁡ θ + a cos ⁡ θ   d θ

E resolvendo cada um dos termos dessa integral, vamos achar o seguinte:

  ∫ 0 θ g sen ⁡ θ   d θ = g 1 - cos ⁡ θ

  ∫ 0 θ a cos ⁡ θ   d θ = a sen ⁡ θ

Então:

ω 2 2 = 5 7 r   g 1 - cos ⁡ θ + a sen ⁡ θ

ω = 10 7 r g 1 - cos ⁡ θ + a sen ⁡ θ

Resposta

A aceleração angular inicial é α = 5 a 7 r , e a velocidade angular é ω = 10 7 r g 1 - cos ⁡ θ + a sen ⁡ θ   .

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