Enunciado

O invólucro semicilíndrico de massa me raio r é enrolado através de um ângulo θ pela força P que permanece tangente à sua periferia em A, como mostrado. Se P for aumentado lentamente, plote o ângulo de inclinação θ como uma função de P até o ponto de escorregamento. Determine o ângulo de inclinação θmax e o valor correspondente Pmax para o qual ocorre o escorregamento. O coeficiente de atrito estático é de 0,30

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre

Uma vez que conhecemos a expressão do centro do arco, podemos calcular a distância l

l = 2 r π

Uma vez que a força F A é máxima força de fricção, escreveremos como

F A = μ s ⋅ N A (1)

Passo 2

Equacionando a soma dos momentos sobre o ponto A a zero. vamos determinar a força P

∑ A     = 0 ( r + r s i n ⁡ θ ) P - l s i n ⁡ θ ⋅ m g = 0 P = l s i n ⁡ θ ⋅ m g r + r s i n ⁡ θ

Substituiremos l por 2 r π

P = 2 r π s i n ⁡ θ ⋅ m g r ( 1 + s i n ⁡ θ ) P = 2 s i n ⁡ θ π ( 1 + s i n ⁡ θ ) m g (2)

Passo 3

Equacionando a soma das forças na direção x - e y - a zero, podemos determinar as forças de reação FA e NA

∑   F y   = 0   - m g + N A = 0 N A = m g ∑   F x   = 0   - F A + P = 0 F A = P

Substituiremos F A e P pelas expressões ( 1 ) e ( 2 ) respectivamente

μ s ⋅ N A = 2 s i n ⁡ θ π ( 1 + s i n ⁡ θ ) m g

Podemos substituir N A por m g

μ n ⋅ m g = 2 s i n ⁡ θ π ( 1 + s i n ⁡ θ ) m g   / ⋅ 1 m g

Dividiremos ambos lados da equação por m g para ter:

μ s = 2 s i n ⁡ θ π ( 1 + s i n ⁡ θ ) (3)

Passo 4

Agora tudo o que temos a fazer é expressar o ângulo θ da expressão acima

μ s = 2 s i n ⁡ θ π ( 1 + s i n ⁡ θ ) μ s + π ( 1 + s i n ⁡ θ ) = 2 s i n ⁡ θ μ s ⋅ π + μ s + π s i n ⁡ θ = 2 s i n ⁡ θ μ s = π = 2 s i n ⁡ θ - μ s ⋅ π s i n ⁡ θ μ s ⋅ π = 2 - μ s ⋅ π s i n ⁡ θ s i n ⁡ θ = μ s + π 2 - μ s ⋅ π θ = a r c s i n ⁡ μ s ⋅ π 2 - μ n ⋅ π

Substituiremos θ por 90 ∘ na expressão (3) para ter o requerido valor de μ s

μ s 90 ∘ = 2 s i n ⁡ 90 ∘ π 1 + s i n ⁡ 90 ∘

μ s 90 ∘ = 0.3183

Resposta

θ = a r c s i n ⁡ μ s ⋅ π 2 - μ n + π μ s 90 . = 0.3183

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