Enunciado

Um jogador de ferradura lança a ferradura em A com uma velocidade inicial v 0 = 11   m / s . Determine a faixa para o ângulo de lançamento θ para o qual a ferradura baterá na estaca vertical de 350   m m .

Passo 1

Pessoal, para que a ferradura acerte a estaca, precisamos que, quando x = 12   m , tenhamos 0   m m ≤ y ≤ 350   m m . Então, será útil construirmos a equação da trajetória de um projétil desse tipo.

Começamos pela seguinte equação do movimento horizontal:

x = x 0 + v x t = x 0 + v 0 cos ⁡ θ t

t = x - x 0 v 0 cos ⁡ θ

Agora, a gente escreve a seguinte equação do movimento vertical:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = y 0 + v 0   s e n   θ t - 1 2 g t 2

Só resta substituir a expressão de t já encontrada:

y = y 0 + v 0   s e n   θ x - x 0 v 0 cos ⁡ θ - 1 2 g x - x 0 v 0 cos ⁡ θ 2

y = y 0 + t g   θ x - x 0 - g sec 2 ⁡ θ 2 v 0 2 x - x 0 2

Então essa é a equação da trajetória de um projétil lançado da posição ( x 0 ,   y 0 ) com velocidade v 0 e fazendo um ângulo θ com a horizontal, beleza?

Passo 2

Nessa situação da ferradura, podemos colocar x 0 = 0   m , y 0 = 1   m , v 0 = 11   m / s e g = 9,8   m / s 2 . Também já vamos substituir x = 12   m , para ter uma expressão para y em função apenas de θ quando a ferradura cruza a vertical da estaca:

y = 1 + t g   θ 12 - 0 - 9,8 sec 2 ⁡ θ 2 11 2 12 - 0 2

y = 1 + 12   t g   θ - 5,83 sec 2 ⁡ θ

Para que a ferradura acerte a estaca, devemos ter 0   m ≤ y ≤ 0,35   m . Então:

0 ≤ 1 + 12   t g   θ - 5,83 sec 2 ⁡ θ ≤ 0,35

Lembrando que sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ , temos:

0 ≤ 1 + 12   t g   θ - 5,83 - 5,83   t g 2 θ ≤ 0,35

0 ≤ - 5,83   t g 2 θ + 12   t g   θ - 4,83 ≤ 0,35

Isso nos dá duas inequações, que devem ser simultaneamente satisfeitas:

0 ≤ - 5,83   t g 2 θ + 12   t g   θ - 4,83                     e                     - 5,83   t g 2 θ + 12   t g   θ - 4,83 ≤ 0,35

Passo 3

Olhe para a primeira inequação:

- 5,83   t g 2 θ + 12   t g   θ - 4,83 ≥ 0

Temos que achar as raízes da equação correspondente:

5,83   t g 2 θ - 12   t g   θ + 4,83 = 0

t g   θ = 0,549           o u           t g   θ = 1,509

Como o sinal do termo quadrático na inequação ( - 5,83   t g 2 θ ) era negativo, teremos aquela expressão maior do que zero quando:

0,549 ≤ t g   θ ≤ 1,509

t g - 1 0,549 ≤ θ ≤ t g - 1 1,509

28,8 ° ≤ θ ≤ 56,5 °

Então sabemos que θ deve estar necessariamente nessa região, mas ainda precisamos fazer a intersecção com a solução da outra inequação.

Passo 4

Vamos para a segunda inequação:

- 5,83   t g 2 θ + 12   t g   θ - 4,83 ≤ 0,35

5,83   t g 2 θ - 12   t g   θ + 4,83 ≥ - 0,35

5,83   t g 2 θ - 12   t g   θ + 5,18 ≥ 0

Agora a gente resolve a equação correspondente:

5,83   t g 2 θ - 12   t g   θ + 5,18 = 0

t g   θ = 0,616           o u           t g   θ = 1,442

Porém, na inequação 5,83   t g 2 θ - 12   t g   θ + 5,18 ≥ 0 , temos o termo quadrático positivo, e portanto, para que a expressão toda seja maior do que zero, precisamos que:

t g   θ ≤ 0,616           o u           t g   θ ≥ 1,442

θ ≤ t g - 1 0,616         o u           θ ≥ t g - 1 1,442

θ ≤ 31,6 °           o u           θ ≥ 55,3 °

Agora, fazendo a intersecção com a solução obtida anteriormente 28,8 ° ≤ θ ≤ 56,5 ° , resultará em dois intervalos:

28,8 ° ≤ θ ≤ 31,6 °                     o u                     55,3 ° ≤ θ ≤ 56,5 °

Resposta

28,8 ° ≤ θ ≤ 31,6 °                     o u                     55,3 ° ≤ θ ≤ 56,5 °

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