Enunciado

Um projétil é lançado com uma velocidade inicial de 200   m / s em um ângulo de 60 ° em relação à horizontal. Calcule o alcance R medido para acima da inclinação.

Passo 1

Galera, pra determinar o alcance R , a gente precisa descobrir qual o ponto de cruzamento entre a trajetória da parábola e o piso inclinado, que será o ponto B . Podemos começar tentando encontrar a equação da trajetória, que descreve a parábola mostrada no desenho.

Analisando o movimento horizontal e considerando o ponto A como a origem do nosso sistema de coordenadas, temos:

x = x 0 + v x t = 0 + 200 cos ⁡ 60 ° t

x = 100 t

t = 0,01 x

Para o movimento vertical, teremos a seguinte equação:

y = y 0 + v 0 y t - 1 2 g t 2 = 0 + 200   s e n   60 °   t - 1 2 g t 2

y = 173,2 t - 4,9 t 2

Se substituirmos a expressão de t encontrada através do movimento horizontal, obteremos a equação da trajetória:

y = 173,2 0,01 x - 4,9 0,01 x 2

y = 1,732 x - 0,00049 x 2

Passo 2

Beleza! Podemos também escrever uma equação da reta formada pelo piso inclinado (que contém os pontos A e B ):

y = t g   20 °   x = 0,364 x

pois o coeficiente angular dessa reta seria justamente a tangente do ângulo que a reta faz com o eixo x positivo, e o coeficiente linear é zero porque a reta passa pela origem do nosso sistema de coordenadas (ponto A ).

Então, para descobrir as coordenadas do ponto B , basta igualar y nas duas equações, já que B é um ponto de intersecção entre as duas curvas:

1,732 x - 0,00049 x 2 = 0,364 x

0,00049 x 2 - 1,368 x = 0

x = 0                     o u                     x = 2792   m

Como x = 0 equivale ao ponto A , então o ponto B está em x B = 2792   m .

Olhando pra figura e usando propriedades de ângulos em triângulos retângulos, temos:

cos ⁡ 20 ° = x B R

R = 27 92   m cos ⁡ 20 °

R = 2970   m

Resposta

R = 2970   m

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