Enunciado

Os lados e a base de uma poncheira têm espessura uniforme t . Se t ≪ R e R = 250   m m , determine a localização do centro de gravidade ( a ) da poncheira, ( b ) do ponche.

Passo 1

Tá legal, vamos lá! A primeira coisa que vamos analisar será a poncheira, sendo assim, podemos notar que pela sua simetria, teremos x - = 0 ,   z - = 0 . Ok, agora, para analisar a poncheira, iremos aproxima-la como se fosse uma casca, então, o centro de massa será o mesmo da casca. Para as paredes da poncheira, vamos obter o elemento diferencial de área rotacionando um arco de comprimento d s ao redor do eixo y , onde:

d s = R d θ

Então, o elemento diferencial de área será:

d A c a s c a = 2 π R s e n θ R d θ → d A c a s c a = 2 π R 2 s e n θ d θ

Passo 2

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d A c a s c a = ∫ 2 π R 2 s e n θ d θ

Resolvendo as integrais, temos:

A c a s c a = 2 π R 2 - cos ⁡ θ π / 6 π / 2

Substituindo os limites de integração:

A c a s c a = 2 π R 2 - 0 - - 3 2

Então, simplificando a expressão, temos a área para a figura gerada:

A c a s c a = 3 π R 2

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em y com a área da superfície em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada:

y - E L = - R c o s   θ

Dessa forma, a expressão que relaciona o centro de massa do sólido com a área da superfície será dada por:

y - A c a s c a = ∫ y - E L d A c a s c a

Então, substituindo o valor de y - E L e d A :

y - A c a s c a = ∫ π / 6 π / 2 - R c o s θ ( 2 π R 2 s e n θ d θ ) = 2 π R 3 ∫ π / 6 π / 2 c o s θ s e n θ d θ

Resolvendo a integral, temos:

y - A c a s c a = - 2 π R 3 cos 2 ⁡ θ 2 π / 6 π / 2

Substituindo os limites de integração, temos:

y - A c a s c a = - 2 π R 3 1 2 0 - 1 2 3 2 2

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de A encontrado no passo 2:

y - 3 π R 2 = - 3 4 π R 3

No entanto, agora devemos somar a parcela referente a base, que será dada por:

A b a s e = π 4 R 2 ,   y - = - 3 2 R

Então, acrescentando essas parcelas na equação anterior, temos:

y - 3 π R 2 + π 4 R 2 = - 3 4 π R 3 + π 4 R 2 - 3 2 R

E, isolando y - da equação, temos:

y - = - 0,493 R

Subsituindo o valor de R = 250   m m , temos:

y - = - 123,2   m m

Passo 3

Agora vamos analisar o ponche, pela figura sabemos que devido a sua simetria, teremos x - = 0 ,   z - = 0 . Agora vamos escolher um elemento de volume como sendo um disco de raio x e espessura d y , dessa forma:

d V = π x 2 d y

Mas, da equação da circunferência, sabemos que x 2 + y 2 = R 2 → x 2 = R 2 - y 2 . Então, o elemento diferencial de volume será:

d V = π R 2 - y 2 d y

Passo 4

Então, aplicando a integral dos dois lados dessa expressão, temos:

∫ d V = ∫ π R 2 - y 2 d y

Resolvendo as integrais, temos:

V = π R 2 y - 1 3 y 3 - 3 R / 2 0

Substituindo os limites de integração:

V = π 0 - - R 2 - 3 2 R - 1 3 - 3 2 R 3

Então, simplificando a expressão, temos o volume para a figura gerada:

V = 3 8 π 3 R 3

Agora podemos usar a expressão que relaciona o centro de massa em y com o volume do sólido em estudo, lembrando que nesse caso a coordenada:

y - E L = y

Dessa forma, a expressão que relaciona o centro de massa do sólido com o volume do sólido será dada por:

y - V = ∫ y - E L d V

Então, substituindo o valor de y - E L e d V :

y - V = ∫ - 3 R / 2 0 y π R 2 - y 2 d y = π ∫ - 3 R / 2 0 R 2 y - y 3 d y

Resolvendo a integral, temos:

y - V = π 1 2 R 2 y 2 - 1 4 y 4 - 3 R / 2 0

Substituindo os limites de integração, temos:

y - V = π 0 - 1 2 R 2 - 3 2 R 2 - 1 4 - 3 2 R 4

Então, simplificando a expressão e substituindo o valor de V encontrado no passo 3:

y - 3 8 π 3 R 3 = 15 64 π R 4

E, isolando y - da equação, temos:

y - = - 5 8 3 R

Subsituindo o valor de R = 250   m m , temos:

y - = - 90 , 2   m m

Resposta

y - = - 123,2   m m

y - = - 90,2   m m

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