Enunciado

Uma laje de concreto é reforçada por barras de aço de 16   m m de diâmetro, espaçados de 140   m m , de centro a centro, como mostrado. Usando uma tensão admissível de 9,6   M P a para o concreto e de 138   M P a para o aço, determinar o maior momento fletor por metro de largura, que pode ser aplicado à laje.

Passo 1

O problema pede o maior momento fletor, que é dado pela equação:

σ = M ⋅ c I

Ou

M = σ ⋅ I c

Onde:

  • σ é a tensão normal admissível.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • c a maior distância entre a linha neutra e um ponto da peça.

Porém, além de ter que utilizar essa equação temos uma peça formada por dois materiais diferentes e para isso vamos ter que achar a seção transformada. Posteriormente, vamos poder utilizar a nossa equação do momento fletor tranquilamente.

Mas aqui nós temos de lembrar que o concreto resiste apenas às tensões de compressão! Você verá isso com mais detalhes à frente.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Se pegarmos uma seção com 140   m m teremos, originalmente:

Observe que existe uma parte em branco! É exatamente onde o concreto está sob tensão, como o concreto não resiste a esse tipo de esforço então consideramos que não há material ali.

Atenção aqui a área da viga é igual a:

A = π ⋅ D 2 4

A = π ⋅ 16 2 4

A = 201,06   m m ²

Calculando n

n = E a ç o E c o n c r e t o

n = 200 20 = 10

Essa informação não foi dada no problema mas pode ser retirada da tabela no final do livro.

Sendo assim a área que iremos considerar será:

A = 2010,6   m m ²

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Pronto! Temos a seção transformada (toda em madeira no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

Como a linha neutra da seção transversal passa pelo centroide da seção transformada vamos utilizar a seguinte equação:

1 2 ⋅ b x 2 - n ⋅ A a ⋅ d - x = 0

Onde os valores são representados abaixo:

Esse é o caso geral, substituindo os valores relativos ao nosso problema:

Vamos ter:

1 2 ⋅ 140 ⋅ x 2 - 2010,6 ⋅ 25 - x = 0

Agora é só resolver essa equação e o valor de x é a distância até a linha neutra.

70 x 2 + 2010,6 ⋅ x - 50265 = 0

Aplicando bhaskara:

x = - 2010,6 ± 2010,6 2 - 4 ⋅ 70 ⋅ ( - 50265 ) 2 ⋅ 70

x = - 2010,6 ± 18116712,36 1 40

x = - 2010,6 ± 4256,37 140

Como o valor deve ser positivo

x = - 2010,6 + 4256,37 140

x = 16   m m

Passo 4

Voltando ao cálculo do momento de inércia:

I = b ⋅ h 3 3

Observe que aqui vamos considerar o corpor rotacionando em volta de um de seus lados, por isso o denominador 3 .

I s u p = b ⋅ h 3 3

I s u p = 140 × 10 - 3 ⋅ ( 16 × 10 - 3 ) 3 3

I s u p = 1,91 × 10 - 7 m 4

I i n f = n ⋅ A ⋅ ( d - x ) ²

I i n f = 2010,6 × 10 - 6 ⋅ ( 9 × 10 - 3 ) ²

I i n f = 1,63 × 10 - 7   m 4

Somando os dois

I = I i n f + I s u p

I = 1,91 × 10 - 7   + 1,63 × 10 - 7

I = 3,54 × 10 - 7   m 4

Passo 5

Agora é só jogar na equação da tensão!

σ = M ⋅ c I

Observe que a distância c é a maior distância entre o eixo e a peça, neste caso são iguais a d - x e x

M c o n c r e t o = σ c o n c r e t o ⋅ I c 1

M c o n c r e t o = 9,6 × 10 6 ⋅ 3,54 × 10 - 7 0,016

M c o n c r e t o = 212,4   N ⋅ m

Para o aço

M a ç o = σ a ç o ⋅ I n ⋅ c 2

M a ç o = 138 × 10 6 ⋅ 3,54 × 10 - 7 10 ⋅ 0,009

M a ç o = 542,8   N ⋅ m

Agora é só escolher o menor

M c o n c r e t o = 212,4   N ⋅ m

Sendo que este valor representa o momento fletor máximo para uma largura de 140   m m para acharmos o valor por metro basta multiplicar por 1000 140

M = 212,4   N ⋅ m × 1000 140

M = 1517,14   N ⋅ m

Resposta

M = 1517,14   N ⋅ m

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