Enunciado

A lança comprida de uma grua de construção, da qual uma parte é mostrada, é um exemplo de uma estrutura periódica composta por unidades estruturais iguais e repetidas. Use o método das seções para encontrar as forças nos elementos F J e G J .

Passo 1

Como queremos utilizar o método das seções, faremos um corte na treliça espacial, passando um plano pelos elementos E H , G H , F H , G J , F J e F I . A parte que sobra é então mostrada:

Temos 3 forças que não passam por H , incluindo as duas que queremos encontrar. Fazendo a equação de momento em torno de H , então só aparecerão essas 3 forças como incógnita, e conseguiremos resolver o sistema.

Passo 2

Vamos primeiro colocar as forças na forma módulo vezes vetor unitário. Para os eixos escolhidos, temos:

G J → = G J   i ^

F I → = F I   i ^

F J → = F J i ^ - k ^ 1 2 + 1 2 = F J i ^ 2 - k ^ 2

Passo 3

Agora, Agora vamos calcular o momento causada por cada uma das forças dos 3 elementos e pela massa de 5000 kg. Primeiro para G J . A angulação das barras em relação a horizontal quando olhadas perpendicularmente ao eixo z é de 60°. O vetor que liga H a G é então:

r → H G = - 2 sen ⁡ 60 ° i ^ - 2 cos ⁡ 60 ° k ^ = - 3 i ^ - k ^

E de H para F :

r → H F = - 3 i ^ + k ^

Calculamos então os momentos feitos pelas três forças das barras. Primeiro G J :

M → G J = r → H G × G J → = - 3 i ^ - k ^ × i ^ G J

= G J i ^ j ^ k ^ 0 - 3 - 1 1 0 0 = G J ( - j ^ + 3 k ^ )

Agora para F I :

M → F I = r → H F × F I → = - 3 j ^ + k ^ × i ^ F I

= F I i ^ j ^ k ^ 0 - 3 1 1 0 0 = F I ( j ^ + 3 k ^ )

E para F J :

M → F J = r → H F × F J → = - 3 j ^ + k ^ × i ^ 2 - k ^ 2 F J

= F J i ^ j ^ k ^ 0 - 3 1 1 / 2 0 - 1 / 2 = F J 6 2 i ^ + 2 2 j ^ + 6 2 k ^

Por último, calculamos o momento realizado pela massa de 5000 kg. O momento é positivo em torno do eixo z :

M → P = 5000 × 9,81 × 5   k ^ = 245250 k ^   N ≈ 245,3 k ^   k N

Passo 4

Pelo equilíbrio, a soma de todos os momentos deve ser zero:

M → G J + M → F I + M → F J + M → P = 0

⇒ G J - j ^ + 3 k ^ + F I j ^ + 3 k ^ + F J 6 2 i ^ + 2 2 j ^ + 6 2 k ^ + 245,3 k ^ = 0

Separando as componentes:

6 2 F J i ^ + - G J + F I + 2 2 F J j ^ + 3 G J + 3 F I + 6 2 F J + 245,3 k ^ = 0

Da primeira equação, tiramos que:

F J = 0

Da segunda, como F J = 0 :

- G J - F I = 0 ⇒ F I = G J

Da terceira:

3 G J + 3 F I + 6 2 F J + 245,3 = 0

Como F J = 0 e F I = G J :

2 3 G J + 245,3 = 0

⇒ G J = 245,3 2 3

⇒ G J = - 70,8   k N   ( C )

O valor negativo indica que a força é de compressão, e não de tração como indicamos.

Resposta

F I = 0

G J = 70,8   k N   ( C )

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