Enunciado

Um letreiro retangular sobre uma loja tem uma massa de 100   k g e seu centro de massa está no centro do retângulo. A sustentação contra a parede no ponto C pode ser considerada como uma rótula. Na extremidade D a sustentação é dada apenas na direção y . Calcule as forças trativas T 1 e T 2 nos arames de sustentação, a força total em C e a força lateral R em D .

Passo 1

Vamos começar escrevendo as forças T → 1 e T → 2 em forma vetorial. Para isso precisamos dos vetores unitários nas direções de E A e E B :

T → 1 = T 1 - 4   i ^ - 1,5   j ^ + 2,5   k ^ 4 2 + 1,5 2 + 2,5 2 = T 1 - 0,808   i ^ - 0,303   j ^ + 0,505   k ^

T → 2 = T 2 - 2,5   i ^ + 1,5   j ^ + 2,5   k ^ 2,5 2 + 1,5 2 + 2,5 2 = T 2 - 0,651   i ^ + 0,391   j ^ + 0,651   k ^

Além dessas duas forças, e do peso da placa, temos também uma força F agindo apenas na direção do eixo y no ponto D (conforme o enunciado), e uma força C que apoia a placa contra a parede, e tem componentes C x e C z . Queremos calcular todas essas forças.

Passo 2

Vamos começar analisando o equilíbrio dos momentos em relação ao eixo A B :

∑ M A B = 0

∑ M A B = C x 1,0 + 2,5 - m g 4 2 = 0

C x = 100 9,81 2 ( 3,5 ) = 561   N

Essa foi uma boa escolha de eixos porque anulou os momentos gerados pelas duas tensões, por F e pela outra componente da força C .

Agora vamos tomar um eixo que exclua todas as forças exceto as duas tensões, o eixo z . Como temos que lidar com esse momento em três dimensões, precisamos escrever os vetores-posição que ligam os pontos de aplicação das tensões ao eixo z :

M → z = r → 1 × T → 1 ∙ k ^ + r → 2 × T → 2 ∙ k ^ = 0

E basta resolver os produtos vetorais pegando apenas a componente em k ^

4   i ^ × T 1 - 0,808   i ^ - 0,303   j ^ + 0,505   k ^ ∙ k ^ = - 1,212   T 1

2,5   i ^ × T 2 - 0,651   i ^ + 0,391   j ^ + 0,651   k ^ ∙ k ^ = 0,9775   T 2

E então:

1,212   T 1 = 0,9775   T 2

Passo 3

Agora vamos analisar o equilíbrio das forças na direção do eixo x :

∑ F x = 0

∑ F x = T 1 x + T 2 x + C x = 0

T 1 - 0,808 + T 2 - 0,651 + 0,561 = 0

0,808   T 1 + 0,651   T 2 = 0,561

E substituindo o resultado anterior nessa equação:

0,808   T 1 + 0,651   1,212 0,9775 T 1 = 0,561

T 1 = 0,347   k N

E substituindo isso em qualquer uma das equações de cima encontramos:

T 2 = 0,431   k N

Passo 4

Agora que conhecemos os módulos das duas tensões, vamos analisar o equilíbrio das forças nas direções dos outros eixos:

∑ F y = 0

∑ F y = T 1 - 0,303 + T 2 0,391 + F = 0

- 0,105 + 0,168 + F = 0

F = - 0,063   k N

Isso quer dizer que a força F aponta no sentido negativo do eixo y .

E por fim vamos considerar o equilíbrio das forças no eixo z (cuidado com a confusão entre N e k N !):

∑ F z = 0

∑ F z = T 1 0,505 + T 2 0,651 + C z - 100 9,81 = 0

C z = 100 9,81 - 347 0,505 - ( 431 ) ( 0,651 )

C z = 525   N

E jutando essa informação com o C x que cálculamos lá em cima:

C = C x 2 + C z 2 = 561 2 + 525 2 = 0,768   k N

Resposta

As forças são T 1 = 0,347   k N , T 2 = 0,431   k N , R = 0,063   k N e C = 0,768   k N ;

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