Enunciado

Levando em conta somente o efeito das tensões normais, determinar a energia de deformação da viga prismática A B para o carregamento mostrado.

Passo 1

E aí, galera bonita! Vamos cair dentro de mais um exercício de energia de deformação?

Nesse exercício precisamos calcular a energia de deformação U da barra A B . Mas atenção! Nesse exercício vamos calcular apenas a energia de deformação da barra que é causada pelo momento fletor M presente na barra. Deixaremos a força cortante V de fora.

A equação que calcula essa energia U da barra causada pelo momento fletor M é:

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

onde L é o comprimento total da barra A B , E é o módulo de elasticidade e I é o momento de inércia.

Para calcular o momento fletor M , temos que achar as forças que atuam na barra. A figura abaixo mostra as forças atuando na barra A B .

R A é a força de reação causada pela restrição no ponto A e R B é a força de reação causada pela restrição no ponto B . Elas são encontradas através das equações de equilíbrio de momento. No entanto, apenas uma delas é suficiente para a gente achar o momento fletor M . No próximo passo, calcularemos uma das duas forças então!

Passo 2

Como vamos calcular o momento fletor M fazendo o equilíbrio da parte esquerda da barra, temos que conhecer apenas R A ! Podemos excluir R B , porque essa força não vai fazer parte do equilíbrio da parte esquerda da barra!

Para achar R A sem precisar achar R B , podemos calcular R A através da equação de equilíbrio de momento no ponto B . Como a força R B não tem braço de alavanca em B , ela não aparece na equação de equilíbrio de momento em B .

Como a força R A e o momento M 0 fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A e de M 0 .

∑ B M = 0

- M A - M 0 = 0

- R A L - M 0 = 0

R A = - M 0 L

Agora estamos aptos a achar M !

Passo 3

Para achar M precisamos usar a equação de equilíbrio de momento na parte esquerda da barra A B . Calcularemos o equilíbrio no ponto x . O momento M tem dois valores: um quando a parte esquerda da barra ainda não inclui o momento M 0 e outro quando a parte esquerda inclui o momento M 0 . Vamos começar o cálculo do primeiro valor de M .

Novamente precisamos lembrar que, como a força R A faz a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A .

∑ x M = 0

- M A + M = 0

- R A x + M = 0

- - M 0 L x + M = 0

M = - M 0 x L

Agora vamos calcular o segundo valor de M .

Novamente precisamos lembrar que, como a força R A e o momento M 0 fazem a barra tender a girar no sentido horário, vamos colocar um sinal de menos na frente do momento de R A e de M 0 .

∑ x M = 0

- M A - M 0 + M = 0

- R A x - M 0 + M = 0

- - M 0 L x - M 0 + M = 0

M = - M 0 L x - L

Com esses valores de M , podemos achar U !

Passo 4

M tem dois valores. Um quando x vale entre 0 e a e outro, quando x vale entre a e L .

S e   0 ≤ x < a       ⟹       M = - M 0 x L

S e   a < x ≤ L       ⟹       M = - M 0 L x - L

Por isso, para substituir M na integral que calcula U , precisamos separar a integral em duas. Uma que vai de 0 a a para o primeiro valor de M e outra que vai de a a L para o segundo valor de M .

U = ∫ 0 L M 2 2 E I d x

U = ∫ 0 a M 2 2 E I d x + ∫ a L M 2 2 E I d x

Substituindo os valores de M nas integrais corretas, achamos:

U = ∫ 0 a - M 0 x L 2 2 E I d x + ∫ a L - M 0 L x - L 2 2 E I d x

Colocando as constantes para fora da integral, achamos:

U = M 0 2 2 E I L 2 ∫ 0 a x 2   d x + M 0 2 2 E I L 2 ∫ a L x - L 2   d x

U = M 0 2 2 E I L 2 x 3 3 0 a + M 0 2 2 E I L 2 x - L 3 3 a L

U = M 0 2 2 E I L 2 a 3 3 - M 0 2 2 E I L 2 a - L 3 3

No entanto, podemos lembrar que L - a é igual a - b !

U = M 0 2 2 E I L 2 a 3 3 + M 0 2 2 E I L 2 b 3 3

U = M 0 2 6 E I L 2 a 3 + b 3

Shoooow! Achamos o valor de U !

Resposta

U = M 0 2 6 E I L 2 a 3 + b 3

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