Enunciado

Localize o centro de massa do corpo sólido homogêneo cujo volume é determinado pela revolução da área sombreada de 360° em torno do eixo z.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  z - =   ∫ z c d V V  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação a z e temos o nosso volume. Note que, quando a revolução a parte mais externa é uma circunferência de área π r 2 . Sendo que se multiplicarmos pela largura dz teremos o volume.

V = ∫ d V = ∫ π r 2 d z

Para facilitar os cálculos tomaremos:

b = 300   m m

Agora precisamos encontrar a que descreve a curva, assim podemos achar também os limites de integração. Se substituirmos os valores iniciais e final da curva, na função que a questão nos dá teremos:

r = R b 3 z 3

Dessa maneira o limite é dado de 0 a b .

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o volume é dado por:

V = = ∫ 0 b π r 2 d z = π R 2 b 6 ∫ 0 b z 6 d z

Agora basta resolvermos essa integral que teremos o volume, sendo assim:

V = π R 2 b 6 z 7 7 b 0   = π 7 R 2 b

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centroide na coordenada z, vamos resolver a integral:

∫ z c d V

Depois é só dividir pelo volume que teremos o ponto. Portanto:

∫ z c d V = ∫ z d V =   π R 2 b 6 ∫ 0 b z 7 d z

∫ z d V = π R 2 8 b 2    

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

z - = ∫ z c d V V = π R 2 8 b 2 π 7 R 2 b = 7 8 b  

Como b = 300   m m , temos

z - = 7 * 300 8 = 263   m m

Resposta

  z - = 263   m m

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