Enunciado

Determine as coordenadas do centroide do corpo com cinco orifícios totalmente perfurados. Cada um dos quatro pequenos orifícios tem um raio de 6   m m .

Passo 1

Fala galera, tudo certo? Bora fazer mais um exercício? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede para determinar as coordenadas X - , Y - e Z - do centro de massa do objeto mostrado. Lembrando que há um furo cilíndrico de raio igual a 20   m m e outros quatro furos cilíndricos de raio igual a 6   m m .

Então bora resolver! Para determinar o centro de massa do corpo formado pelo conjunto de outros objetos, vamos utilizar as medidas dadas e as seguintes equações:

X - = ∑ ( m x - ) ∑ m = ∑ ( ρ V x - ) ∑ ρ V = ∑ ( V x - ) ∑ V

Y - = ∑ ( m y - ) ∑ m = ∑ ( ρ V y - ) ∑ ρ V = ∑ ( V y - ) ∑ V

Z - = ∑ ( m z - ) ∑ m = ∑ ( ρ V z - ) ∑ ρ V = ∑ ( V z - ) ∑ V

Ou seja, precisamos definir os volumes dos objetos que compõem a figura: o paralelepípedo de dimensões 120 , 80,80 que vamos chamar de V 1 , o furo V 2 cilíndrico de raio 20   m m e os quatro furos V 3 em formato de cilindro de raio 6   m m .

V 1 = 120 * 80 * 80 = 768 000   m m ³

V 2 = - π 2 0 2 * 8 0 = - 100531   m m ³

V 3 = - 4 * π 6 2 * 120 = -   54287   m m 3

Passo 2

Tranquilo né? Antes de prosseguir, vamos analisar o desenho. Observe que os planos y = 4 0   m m e z = 40   m m são planos de simetria da figura, logo a posição do centro de massa em relação aos eixos y e z são obtidas diretamente:

Y - = 4 0   m m

Z - = 40   m m

Sobrou então apenas X - para calcular. Para isso, além dos volumes, precisamos das posições dos centroides em relação ao eixo x para os três objetos. Começando pelo paralelepípedo V 1 :

x - 1 = 12 0 2 = 6 0   m m

O furo cilíndrico V 2 :

x - 2 = 70   m m

E a pirâmide triangular V 3 :

x - 3 = 120 2 = 60   m m

Passo 3

Show de bola! Feito isso, temos as propriedades dos objetos separadamente e podemos substituir nas fórmulas do Passo 1:

X - = ∑ ( V x - ) ∑ V = V 1 x - 1 + V 2 x - 2 + 4 * V 3 x - 3 V 1 + V 2 + 4 * V 3

X - = 768000 * 60 + - 100531 * 70 + -   54287 * 60 768000 + - 100531 + -   54287

X - = 58,36   m m

É isso, galera. Até que foi tranquilo né?

Partiu pra próxima!

Resposta

X - = 58,36   m m

Y - = 40   m m

Z - = 40   m m

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