Enunciado

Determine a coordenada z do centroide do volume obtido pela revolução da área triangular sombreada de 360° em torno do eixo z.

Passo 1

Sabendo que as equações para encontrar o centroide é dado por:

  z - =   ∫ z c d V V  

Dessa maneira, vamos primeiro encontrar o volume do problema.

Passo 2

Mas antes vamos escolher um elemento de volume, para assim podermos integrar, com isso:

Pronto! Escolhido o elemento de volume vamos integrar ele em relação ao raio e temos o nosso volume. Note que, quando a revolução a parte mais externa é uma circunferência de comprimento 2 π r sendo o raio variando. Sendo que se multiplicarmos pela altura z teremos o volume.

V = ∫ d V = ∫ 2 π r z d r

Agora precisamos encontrar a função que descreve a reta, assim podemos achar também os limites de integração. Se substituirmos os valores em uma equação linear teremos:

r = z 3

z = r 3

Dessa maneira o limite é dado de 0 a 3 a 2 . Só substituir o ponto a 2 na equação linear.

Passo 3

Tendo a função que descreve o nosso problema fica mais fácil de integrar, dessa maneira o comprimento é dado por:

V = ∫ 0 3 a 2 2 π r z d r = 2 π 3 ∫ 0 3 a 2 r 2 d r

Agora basta resolvermos essa integral que teremos o volume, sendo assim:

V = 2 π 3 r 3 3 3 a 2 0   = π a 3 4

Passo 4

Ante de aplicar a equação para achar o centro de massa na coordenada z, vamos resolver a integral:

∫ z c d V

Depois é só dividir pela área que teremos o ponto. Cuidado! O ponto z c fica no meio em relação a z. Portanto:

z c = z 2 = r 2 3

Logo,

∫ z c d V = ∫ 0 3 a 2 r 2 3 * 2 π 3 r 2 d r

∫ z c d V = π 3 r 4 4 3 a 2 0 = 3 π a 4 64    

Pronto! Só substituir na equação, se tiver alguma dificuldade na resolução das integrais recomendo que revise o assunto de integrais em cálculo que encontra na própria plataforma. Agora vamos substituir:

z - = ∫ z c d V V = 3 π a 4 64 π a 3 4 = 3 a 16  

Resposta

  z - = 3 a 16

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