Localize o centro de massa do sólido consistindo em um núcleo central cilíndrico , com densidade de , uma parte externa cilíndrica e um cone no topo, cada um desses dois últimos com densidade de .
Passo 1
Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.
Nesse problema temos um objeto separado em três partes: a primeira parte é um cilindro interno de densidade , a segunda parte é um cilindro interno e a terceira é um cone, ambos com densidade de .
A partir daí temos que encontrar o centro de massa desse objeto.
Tem ideia de como fazemos isso?
Para resolver esse problema podemos separar esse objeto em pequenos sólidos simples e aplicar a fórmula do centro de massa:
Tambem podemos substituir pela equação da densidade
Assim, ficamos com:
Bora lá!
Passo 2
Vamos começar pelo cilindro interno: ele tem altura
E raio
Portanto, seu volume é:
Agora para o cilindro externo, temos que sua altura é
E seu raio é
Logo, como o cilindro interno está ocupando , seu volume é:
Já para o cone, temos que sua altura é:
E seu raio é
Assim, desconsiderando o volume interno ocupado pelo cilindro, temos que seu volume é:
Ainda precisamos considerar esse volume interno ocupado pelo cilindro, então vamos considerar esse volume como um buraco (um volume negativo).
Tranquilo até aqui?
Passo 3
Agora vamos montar a fórmula do centro de massa:
Substituindo as equações que encontramos no passo anterior:
Para a , e temos que corresponde à metade da altura correspondente.
Já , pode se tratar de um cone, corresponde a da altura .
Ou seja:
Recapitulando as variáveis, temos:
Substituindo tudo isso em vamos obter:
E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!