Localize o centro de massa z\- do sólido consistindo em um núcleo central cilíndrico A , com densidade de 7,90 Mg/m^3 , uma parte externa cilíndrica B e um cone C no topo, cada um desses dois últimos com densidade de 2,70 Mg/m^3 .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema temos um objeto separado em três partes: a primeira parte é um cilindro interno de densidade 7,90   M g / m 3 , a segunda parte é um cilindro interno e a terceira é um cone, ambos com densidade de 2,70   M g / m 3 .

A partir daí temos que encontrar o centro de massa z - desse objeto.

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema podemos separar esse objeto em pequenos sólidos simples e aplicar a fórmula do centro de massa:

z - = ∑ m i z - i ∑ m i  

Tambem podemos substituir m i pela equação da densidade

m i = V i ρ i

Assim, ficamos com:

z - = ∑ V i ρ i z - i ∑ V i ρ i  

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar pelo cilindro interno: ele tem altura

h 1 = 600 + 400 = 1000   m m

E raio

r 1 = 100   m m

Portanto, seu volume é:

V 1 = π r 1 2 h 1

Agora para o cilindro externo, temos que sua altura é

h 2 = 600   m m

E seu raio é

r 2 = 300   m m

Logo, como o cilindro interno está ocupando r 1 , seu volume é:

V 2 = π r 2 2 - r 1 2 h 2

Já para o cone, temos que sua altura é:

h 3 = 400 + 400 = 800   m m

E seu raio é

r 3 = 300   m m

Assim, desconsiderando o volume interno ocupado pelo cilindro, temos que seu volume é:

V 3 = 1 3 π r 3 2 h 3

Ainda precisamos considerar esse volume interno ocupado pelo cilindro, então vamos considerar esse volume como um buraco (um volume negativo).

V 4 = π r 1 2 h 4

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos montar a fórmula do centro de massa:

z - = ∑ V i ρ i z - i ∑ V i ρ i   = V 1 ρ 1 z - 1 + V 2 ρ 2 z - 2 + V 2 ρ 3 z - 3 - V 4 ρ 4 z - 4 V 1 ρ 1 + V 2 ρ 2 + V 2 ρ 3 - V 4 ρ 4

Substituindo as equações que encontramos no passo anterior:

z - = ρ 1 π r 1 2 h 1 z - 1 + ρ 2 π r 2 2 - r 1 2 h 2 z - 2 + ρ 3 1 3 π r 3 2 h 3 z - 3 - ρ 4 π r 1 2 h 4 z - 4 ρ 1 π r 1 2 h 1 + ρ 2 π r 2 2 - r 1 2 h 2 + ρ 3 1 3 π r 3 2 h 3 - ρ 4 π r 1 2 h 4

Para a z - 1 , z - 2 e z - 4 temos que z - corresponde à metade da altura h i correspondente.

z - 3 , pode se tratar de um cone, corresponde a 1 / 4 da altura h 3 .

Ou seja:

z - = ρ 1 π r 1 2 h 1 h 1 2 + ρ 2 π r 2 2 - r 1 2 h 2 h 2 2 + ρ 3 1 3 π r 3 2 h 3 h 3 4 - ρ 4 π r 1 2 h 4 h 4 2 ρ 1 π r 1 2 h 1 + ρ 2 π r 2 2 - r 1 2 h 2 + ρ 3 1 3 π r 3 2 h 3 - ρ 4 π r 1 2 h 4

z - = ρ 1 π r 1 2 h 1 2 2 + ρ 2 π r 2 2 - r 1 2 h 2 2 2 + ρ 3 π r 3 2 h 3 2 12 - ρ 4 π r 1 2 h 4 2 2 ρ 1 π r 1 2 h 1 + ρ 2 π r 2 2 - r 1 2 h 2 + ρ 3 1 3 π r 3 2 h 3 - ρ 4 π r 1 2 h 4

Recapitulando as variáveis, temos:

ρ 1 = 7,90 M g / m 3

ρ 2 = ρ 3 = ρ 4 = 2,70   M g / m 3

r 1 = 100   m m

r 2 = r 3 = 300   m m

h 1 = 10 00   m m

h 2 = 600   m m

h 3 = 800   m m

h 4 = 400   m m

Substituindo tudo isso em z - vamos obter:

z - = 340   m m

E fim! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

z - = 340   m m

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