Enunciado

O arco circular é girado 360 ° em torno do eixo y. Determine a área da superfície externa S do corpo resultante, que é uma parte de uma casca esférica.

Passo 1

Lembre-se dos teoremas de Pappus que a superfície externa de um corpo pode ser encontrada pela fórmula:

A = θ y - L

E o Volume pode ser encontrado pela fórmula:

V = θ y - A

y - representa a distância do centro de massa do eixo de revolução

Este problema é exatamente o Problema Amostra 5/10, então não tenho certeza de por que o autor considerou isso um problema não resolvido, mas tentarei explicar o problema com mais detalhes. Precisamos encontrar a distância do centro de massa do eixo y. Olhando para o problema de amostra 5/1:

x - = r - = r sin ⁡ α α

Passo 2

Em nosso caso r = a e α = 90 2 = 45 ° = π 4 , então:

r - = a sin ⁡ π 4 π 4 = 4 a 1 2 π = 2 2 a π

Em seguida, precisamos encontrar θ , uma vez que a revolução é 360 ° , escrevemos:

θ = 2 π

Em seguida, estamos procurando encontrar a Área externa aqui, então usaremos a primeira fórmula do Teorema de Pappus:

A = θ r - L

Passo 3

A última coisa de que precisamos é o Comprimento, neste caso é o perímetro. Como queremos encontrar o perímetro de um comprimento de arco circular que se estende por 90 ° (quarto de círculo), escrevemos:

L = 2 π r 1 2 = a π 2

Temos tudo o que precisamos para encontrar a área para:

A = θ r - L = 2 π 2 2 a π a π 2 = 2 2 a 2 π

Resposta

2 2 a 2 π

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