Localize o centroide x^- do setor circular.

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema temos uma figura de um setor circular e nosso objetivo é encontrar seu centroide x - .

Tem ideia de como fazemos isso?

Para resolver esse problema temos que aplicar a formulinha

x - = ∫ A x - ' d A ∫ A d A

Bora começar!

Passo 2

Podemos considerar que esse setor circular é formado por triângulos infinitesimais dessa forma:

Dessa forma, podemos definir x - ' como:

x - ' = 2 3 r cos ⁡ θ

d A podemos definir como

d A = 1 2 r 2 d θ

Dessa forma, a fórmula de x - fica assim:

x - = ∫ A 2 3 r cos ⁡ θ 1 2 r 2 d θ ∫ A 1 2 r 2 d θ = ∫ A 1 3 r 3 cos ⁡ θ d θ ∫ A 1 2 r 2 d θ

x - = 1 3 r 3 1 2 r 2 ∫ A cos ⁡ θ d θ ∫ A d θ

x - = 2 3 r ∫ A cos ⁡ θ d θ ∫ A d θ

Pela figura, vemos que θ está definida entre α e - α , logo

x - = 2 3 r ∫ - α α cos ⁡ θ d θ ∫ - α α d θ

x - = 2 3 r ∫ - α α cos ⁡ θ d θ ∫ - α α d θ

Calculando as integrais, chegamos em:

∫ - α α cos ⁡ θ d θ = 2 sin ⁡ α

∫ - α α d θ = 2 α

E finalmente, encontramos que:

x - = 2 3 r sin ⁡ α α

É isso! Entendeu tudo? Responde Aí!

Resposta

x - = 2 3 r sin ⁡ α α

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