Enunciado

5.55. Determine the x- and y-coordinates of the centroid of the shaded area.

Passo 1

Vamos em busca de mais um centroide!

Como sempre, vamos separar a figura em várias figuras mais fáceis de resolver:

Então temos três figuras: O retângulo verde, o triângulo vermelho e o círculo branco. Atenção, esse círculo aí é uma parte que falta na figura, então a gente vai considerar valores negativos para ele.

Passo 2

Vamos começar pelo retângulo. A área de um retângulo é sempre o produto de sua base pela altura, então:

A Q = 4 + 6 ⋅ 4 = 40   i n 2

Agora vamos calcular o centroide. As coordenadas do centroide do retângulo são bem simples:

x - Q = 4 + 6 2 = 5   i n

E

y - Q = 4 2 = 2   i n

Passo 3

Agora vamos para o triângulo em vermelho. Vamos começar com a área, pode ser um pouco difícil encontrar a altura desse triângulo, mas basta subtrair a altura do retângulo da altura total da figura:

h T = h - h Q = 5 + 3 - 4 = 4   i n

Então

A T = b ⋅ h 2 = 4 + 6 ⋅ 4 2 = 20   i n 2

Exatamente a metade da área do retângulo, e isso é lógico, porque esse triângulo é como se fosse aquele retângulo cortado no meio.

Beleza, agora vamos para o centroide, mas aqui a gente vai ter que mudar o centro do eixo de coordenadas.

Agora o centro do eixo de coordenadas está em O ' , no ponto 0 ; 4 do sistema original de coordenadas.

Vamos lá

x - T ' = b 3 = 4 + 6 3 = 10 3   i n

E

y - T ' = h 3 = 4 3   i n

Agora vamos passar isso para o sistema original de coordenadas, usando a equação

x - T = x - T ' + O '

Então

x - T = 10 3 + 0 = 10 3   i n

E

y - T = y - T ' + O '

Então

y - T = 4 3 + 4 = 4 + 4 3   i n

Passo 4

Agora vamos para o círculo. A área do círculo é

A C = π r 2 = π 2 2 = 4 π

Agora vamos calcular o centroide, e não vai ser nada complicado, porque para nossa sorte o círculo é uma figura totalmente simétrica, então seu centroide é exatamente no seu centro, e o centro do círculo está marcado na figura.

x - C = 4   i n

E

y - C = 3   i n

Mas lembre-se que o peso das componentes do círculo para o centroide da figura toda vai ser negativo.

Passo 5

Agora podemos finalmente calcular o centroide da figura toda, vamos começar com o eixo x

x - = ∑ A x - ∑ A

Isso fica

x - = A Q x - Q + A T x - T - A C x - C A Q + A T - A C

Substituindo os valores

x - = 40 ⋅ 5 + 20 ⋅ 10 3 - 4 π ⋅ 4 40 + 20 - 4 π = 4 , 5622   i n

E agora vamos fazer o mesmo para y

y - = ∑ A y - ∑ A

Isso fica

y - = A Q y - Q + A T y - T - A C y - C A Q + A T - A C

Substituindo os valores

y - = 40 ⋅ 2 + 20 ⋅ 4 3 + 4 - 4 π ⋅ 3 40 + 20 - 4 π = 3,1405   i n

E terminamos mais uma questão.

Resposta

x - = 4,5622   i n

y - = 3,1405   i n

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