Enunciado

Um mastro de bandeira é escorado por três cabos. Sabendo que as forças de tração sobre o mastro têm a mesma intensidade P , substitua as forças exercidas sobre o mastro por um torsor equivalente e determine a a resultante R , b o passo do torsor equivalente, c o ponto em que o eixo do torsor intercepta o plano x z .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

A tensão em cada um dos três cabos é P .

O vetor posição de B A é dado por:

B A - = - 2 4 a j - 18 a k

A sua intensidade é dada por:

B A = 0 2 + - 24 a 2 + - 18 a 2

B A = 30 a

Podemos representar oo vetor unitário como:

λ B A = B A - B A

λ B A = - 24 a j - 18 a k 3 a

Passo 2

Com o auxilio do vetor unitário podemos retratar a força de forma vetorial:

F B A = F B A ⋅ λ B A

F B A = P ⋅ - 24 a j - 18 a k 3 a

F B A = P 5 - 4 j - 3 k

Passo 3

Agora vamos fazer o mesmo procedimento com D C para retratar F D C de forma vetorial:

O vetor posição de D C é dao por:

D C - = 1 5 a i - 2 0 a j

A sua intensidade é dada por:

D C = 15 a 2 + - 20 a 2 + 0 2

D C = 25 a

Podemos representar oo vetor unitário como:

λ D C = D C - D C

λ D C = 15 a i - 20 a j 25 a

Passo 4

Com o auxilio do vetor unitário podemos retratar a força de forma vetorial:

F D C = F D C ⋅ λ D C

F D C = P ⋅ 15 a i - 20 a j 25 a

F D C = P 5 3 i - 4 j

Passo 5

Agora vamos fazer o mesmo procedimento com D E para retratar F D E de forma vetorial:

O vetor posição de D E é dao por:

D E - = - 9 a i - 20 a j + 12 a k

A sua intensidade é dada por:

D E = - 9 a 2 + - 20 a 2 + 12 a 2

D E = 25 a

Podemos representar oo vetor unitário como:

λ D C = D E - D E

λ D C = - 9 a i - 20 a j + 12 a k 25 a

Passo 6

Com o auxilio do vetor unitário podemos retratar a força de forma vetorial:

F D E = F D E ⋅ λ D E

F D E = P ⋅ - 9 a i - 20 a j + 12 a k 25 a

F D E = P 25 - 9 i - 20 j + 12 k

Passo 7

Agora podemos finalmente encontrar a força resultante resultante R :

R = F B A + F D C + F D E

R = P 5 - 4 j - 3 k + P 5 3 i - 4 j + P 25 - 9 i - 20 j + 12 k

R = 3 P 25 2 i - 20 j - k

A magnitude da resultante é dada por:

R = 18 P 25 2 + - 180 P 25 2 + - 9 P 25 2

R = 27 5 P 25   N

Passo 8

O vetor posição de R é dado por:

r = R R

r = 3 P 25 2 i - 20 j - k 27 5 P 25

r = 2 9 5 i + - 20 9 5 j + - 1 9 5 k

Passo 9

Item b:

O torsor equivalente é calculado ao fazer o produto vetorial dos vetores que ultrapassam a distância das linha de ação das forças ao ponto O . Somados aos torsores iniciados:

M O = ∑ F × d + ∑ M

Substituindo os valores, temos:

M O = P 5 - 4 j - 3 k × 24 a j + P 5 3 i - 4 j × 20 a j + P 25 - 9 i - 20 j + 12 k × 20 a j

M O = 24 P a 5 - i - k

A intensidade do torsor na direção da R pode ser calculada ao fazer o produto escalar entre o torsor e a direção de R :

M i = M O ⋅ r

M i = 24 P a 5 - i - k ⋅ 2 9 5 i + - 20 9 5 j + - 1 9 5 k

M i = - 8 P a 15 5

O passo do torsor é dado pela divisão entre a intensidade do torsor pela intensidade de R :

p = M i R

p = - 8 P a 15 5 27 5 P 25

p = 0,0988 a

Passo 10

Item c:

O torsor binário pode ser dado como o somatório dos torsores aplicados no sistema ou como o produto vetorial de R por r O .

Portanto:

R × r O = M 2

3 P 25 2 i - 2 0 j - k × x i + z k = 24 P a 5 - i - k - - 8 P a 15 5 ⋅ 2 9 5 i + - 20 9 5 j + - 1 9 5 k

3 P 25 20 z i + x + 2 z j - 20 x k = 8 P a 675 430 i - 20 j - 460 k

Portanto:

8 P a 675 430 = 3 P 25 20 z

z = 1,99012 a

8 P a 675 - 460 = 3 P 25 - 20 x

x = 2,0049 a

O eixo do momento torsor intercepta o plano y z em x = 2,0049 a , y = 0 e z = 1,99012 a .

Resposta

a )   R = 3 P 25 2 i - 20 j - k

b )   p = 0,0988 a

c )   x = 2,0049 a

y = 0

z = 1,99012 a

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Substitua as cinco forças atuando na chapa por um torsor. Especifique as intensidades da força e do momento de binário para o torsor e o ponto P(x, z), onde o torsor intercepta o plano x–z.
Substitua as três forças que agem na chapa por um torsor. Especifique as intensidades da força e do momento de binário para o torsor e o ponto P(x, y), onde o torsor intercepta a chapa.
Se o binário resultante dos três binários atuando sobre o bloco triangular tiver de ser zero, determine a intensidade das forças F e P.
Determine  o momento  de  binário  resultante  que age sobre o encanamento.
Substitua a força F, com intensidade de F = 500 N  e agindo no ponto A, por força e momento de binário  equivalentes no ponto C.