Enunciado

Determine se o sistema de forças e binários mostrado na figura pode ser reduzido a uma força única equivalente R . Se for o caso, determine R e o ponto em que a linha de ação de R intercepta o plano y z . Caso contrário, substitua o sistema dado por um torsor equivalente e determine sua resultante, seu passo e o ponto em que seu eixo intercepta o plano y z .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Primeiro, vamos normalizar o vetor H G . Basta dividir cada componente do vetor pelo seu comprimento. O comprimento do vetor H G é dado pela raiz das somas dos componentes ao quadrado.

H G = 40 2 + 60 2 + - 120 2

H G = 140   m m

Agora vamos normalizar:

λ = H G H G

λ = 40 i + 60 j - 120 k 140

A força b representada vetorialmente, será:

F b = 70 40 i + 60 j - 120 k 140

F b = 40 i + 60 j - 120 k 2

F b = 20 i + 30 j - 60 k

Passo 2

A resultante é dada então, por:

R = ∑ F

R = F a + F b

R = 50 k + 20 i + 30 j - 60 k

R = 20 i + 30 j - 10 k

A intensidade da resultante será:

R = 20 2 + 30 2 + - 10 2

R = 37,417   N

Passo 3

O torsor equivalente é calculado ao fazer o produto vetorial dos vetores que ultrapassam a distância das linha de ação das forças ao ponto O . Somados aos torsores iniciados:

M O = ∑ F × d + ∑ M

Substituindo os valores, temos:

M O = 20 i + 30 j - 60 k × 0,160 i + 50 k × 0,160 j + 10 0,160 i - 0,120 j 0,140 + 14 0,040 i - 0,120 j + 0,060 k 0,140

M O = 18 i - 8,4 j + 10,8 k

Passo 4

O torsor binário pode ser dado como o somatório dos torsores aplicados no sistema ou como o produto vetorial de R por r O .

Portanto:

R × r O = M 2

20 i + 30 j - 10 k × y j + z k = 18 i - 8,4 j + 10,8 k

- 20 y k - 1 0 y i + 20 z j - 3 0 z i = 18 i - 8,4 j + 10,8 k

Portanto:

20 z = - 8,4

z = - 0,42   m

- 20 y = 10,8

y = - 0,54   m

O eixo do momento torsor intercepta o plano y z em x = 0 , y = - 0,54   m e z = - 0,42   m .

Resposta

R = 20 i + 30 j - 10 k

O eixo do momento torsor intercepta o plano y z em x = 0 , y = - 0,54   m e z = - 0,42   m .

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A laje da construção está sujeita a quatro cargas paralelas das colunas. Determine a força resultante equivalente e especifique sua posição (x, y) sobre a laje. Considere F1 = 8 kN e F2 = 9 kN.
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Substitua o sistema de forças por um torsor e especifique as intensidades da força e do momento de binário do torsor e o ponto onde o torsor intercepta o plano x–z.
Substitua os dois torsores e a força, atuando sobre o encanamento, por uma força e um momento de binário equivalentes no ponto O.
A laje da construção está sujeita às cargas de quatro colunas paralelas. Determine F1 e F2 se a força resultante atua através do ponto (12 m, 10 m).