Enunciado

Quando o mastro O A está na posição mostrada, a força trativa no cabo A B vale 3   k N .

(a) Usando as coordenadas mostradas, escreva na forma vetorial a força trativa exercida na pequena arruela no ponto A .

(b) Determine o momento dessa força em relação ao ponto O e indique os momentos em relação aos eixos x , y e z .

(c) Determine a projeção desta força trativa sobre a linha A O .

Passo 1

(a) Olhe o seguinte desenho:

Podemos calcular a medida A B - por meio da lei dos cossenos:

A B - 2 = 8 2 + 10 2 - 2 8 10 cos ⁡ 120 °

A B - = 15,6205   m

Então, a força trativa na forma vetorial será:

T A B = 3 - cos ⁡ θ cos ⁡ 35 ° i - cos ⁡ θ s e n   35 °   j - s e n   θ   k

T A B = 3   k N - 8 + 10 cos ⁡ 60 ° 15,6205 cos ⁡ 35 ° i - 8 + 10 cos ⁡ 60 ° 15,6205 s e n   35 °   j - 10   s e n   60 ° 15,6205 k

T A B = - 2,05   i - 1,432   j - 1,663   k   k N

Passo 2

(b) Calculamos o momento em relação ao ponto O assim:

M O = r O B × T A B

M O = 8   m - cos ⁡ 35 ° i - s e n   35 °   j × - 2,05   i - 1,432   j - 1,663   k   k N

M O = 8   k N ∙ m   - cos ⁡ 35 ° i - s e n   35 °   j + 0   k × - 2,05   i - 1,432   j - 1,663   k

M O = 7,63   i - 10,90   j   k N ∙ m

E então:

M O x = 7,63   k N ∙ m

M O y = - 10,90   k N ∙ m

M O z = 0

Passo 3

(c) O módulo T A O da projeção da força sobre a linha A O é obtido por meio do produto escalar:

T A O = T A B ∙ n A O

onde n A O é o vetor unitário nessa direção.

Então:

T A O = ( - 2,05   i - 1,432   j - 1,663   k ) ∙ ( - cos ⁡ 60 ° cos ⁡ 35 ° i - cos ⁡ 60 ° s e n   35 °   j - s e n   60 °   k )

T A O = 2,69   k N

Resposta

(a) T A B = - 2,05   i - 1,432   j - 1,663   k   k N

(b) M O = 7,63   i - 10,90   j   k N ∙ m

M O x = 7,63   k N ∙ m

M O y = - 10,90   k N ∙ m

M O z = 0

(c) T A O = 2,69   k N

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