Enunciado

Um material está sujeito ao estado plano de tensão. Expresse a teoria da falha de energia de distorção em termos de σ x , σ y , τ x y .

Passo 1

Olá, pessoal! Tudo bem? Vamos lá resolver esse problema?

A equação 10.30 nos fornece a expressão da teoria da falha de energia de distorção:

σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 = σ e 2

O problema pede que expressemos essa teoria em termos de σ x , σ y , τ x y .

Vamos então usar a equação das tensões principais e adequá-la a fim de substituir na expressão da teoria da falha de energia de distorção.

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Passo 2

Começaremos separando a equação em duas partes:

a = σ x + σ y 2

b = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Dessa forma:

σ 1 = a + b

σ 2 = a - b

Adequando aos termos da expressão da teoria da falha, temos:

σ 1 2 = a 2 + b 2 + 2 a b

σ 2 2 = a 2 + b 2 - 2 a b

σ 1 σ 2 = a 2 - b 2

Passo 3

Fazemos então a substituição:

σ 1 2 - σ 1 σ 2 + σ 2 2 = σ e 2

( a 2 + b 2 + 2 a b ) - ( a 2 - b 2 ) + ( a 2 + b 2 - 2 a b ) = σ e 2

a 2 + b 2 + 2 a b - a 2 + b 2 + a 2 + b 2 - 2 a b = σ e 2

3 b 2 + a 2 = σ e 2

Passo 4

Agora é só substituir a e b pelos seus devidos valores e encontraremos a expressão em termos de σ x , σ y , τ x y .

3 σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 1 2 2 + σ x + σ y 2 2 = σ e 2

3 σ x - σ y 2 4 + 3 τ x y 2 + σ x + σ y 2 4 = σ e 2

σ x 2 + σ y 2 - σ x σ y + 3 τ x y 2 = σ e 2

Resposta

σ x 2 + σ y 2 - σ x σ y + 3 τ x y 2 = σ e 2

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