Enunciado

Um mecanismo para empurrar pequenas caixas de uma linha de montagem para uma correia transportadora é mostrado com o braço OD e a manivela CB em suas posições verticais. A manivela gira no sentido horário a uma taxa constante de uma rotação a cada dois segundos. Para a posição mostrada, determine a velocidade em que a caixa está sendo empurrada horizontalmente para a correia transportadora.

Passo 1

Este mecanismo é um pouco mais complexo e possui até uma haste curva. Então, o jeito mais simples de resolver esta questão é por álgebra vetorial. Como sempre, é necessário fazer um diagrama do mecanismo, e incluir os vetores posição e velocidade.

Para finalizar este passo, o enunciado diz que a manivela ω B C dá uma volta a cada 2 segundos no sentido horário. Isto pode ser reescrito como:

ω B C → = - 2 π 2 r a d s = - π k ^ r a d s ; S H

Passo 2

Nesta etapa, vamos começar a definir os vetores posição e velocidade, usando o diagrama traçado como apoio. Vamos aos vetores posição:

r O A → = - 0,1 i ^ + 0,2 j ^

r C B → = 0 , 05 j ^

r A B → = - 0,3 i ^ + 0,05 j ^

r O D → = 0,6 j ^

As velocidades podem ser calculadas por:

V B → = ω B C → × r C B → = 0,05 π   i ^   m / s

V A / B → = ω A B → × r A B → = ω A B k ^ × - 0,3 i ^ + 0,05 j ^ = - 0,05 ω A B   i ^ - 0,3 ω A B j ^

V A → = ω O A → × r O A → = ω O A k ^ × - 0,1 i ^ + 0,2 j ^ = - 0,2 ω O A   i ^ - 0,1 ω O A   j ^

Passo 3

Agora, vamos usar a equação da velocidade relativa para relacionar os vetores.

V A = V B + V A / B

Substituindo os valores:

- 0,2 ω O A   i ^ - 0,1 ω O A   j ^ =   0,05 π   i ^   - 0,05 ω A B   i ^ - 0,3 ω A B j ^

Decompondo nas direções, temos o sistema:

- 0,2 ω O A   i ^ =   0,05 π   i ^   - 0,05 ω A B   i ^

- 0,1 ω O A   j ^ =   - 0,3 ω A B j ^

Resolvendo o sistema, encontramos:

ω O A = - 0,857   k ^   r a d / s

ω A B = - 0 , 286   k ^   r a d / s

Passo 4

Agora que temos mais dados, vale a pena fazer um novo diagrama.

Bom, vamos fazer uma observação neste diagrama. Primeiro, a barra OAD está fixa na articulação O, portanto possui a mesma velocidade angular em seus pontos, então ω O A = ω O D

Segundo (e pulo do gato), a velocidade de D está na direção i ^ , uma vez que o vetor posição r O D →   é nulo nesta direção em relação a O. Portanto, vai definir a velocidade de E, pois este ponto não se movimenta na direção vertical, apenas na horizontal.

Então, temos que:

V E → = V D →   = ω O D k ^ × r O D j ^ = - 0,857 k ^ × 0,6 j ^ = 0,514   i ^   m / s

Resposta

V E → = 0,514   i ^   m / s

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