Movimento Relativo: Velocidade

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Teoria

Introdução

Se tivermos duas barrinhas articulas entre si:

Se quisermos saber a velocidade que o ponto A tem em relação ao ponto O vamos ter que trabalhar de um jeito diferente com o conceito de velocidade relativa.

Neste capítulo vamos aprender a achar a velocidade relativa entre pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido. Partiu?

  1. Velocidade Relativa

Quando você tem um corpo rígido realizando rotação e translação ao mesmo tempo, e você quer saber a velocidade que um ponto A deste corpo possui com relação a um ponto B que também pertence a esse mesmo corpo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B +   v → A / B

A velocidade relativa de A com relação a B nós chamamos de v → A / B . Ela é a velocidade que um observador que está no ponto B vê o ponto A se movendo.

Mas o ponto que o observador está (ponto B ) sofre os mesmo movimentos de translação que o ponto A que ele está observando:

Ou seja, para um observador no ponto B é como se o ponto A estivesse girando em torno dele:

Repare que o raio desta trajetória é a distância entre os ponto A e B . Então, a velocidade relativa de A com relação a B será calculada usando a equação da rotação:

v → A / B = ω → × r → A / B

Onde, ω → é a velocidade angular do corpo que os pontos A e B pertencem. O vetor velocidade angular está sempre no eixo z   e o seu sentido será dado pela regra da mão direita:

Já o vetor r → A / B é o raio da trajetória circular que o ponto que está sendo observado faz em torno do ponto em que está o observador:

E como sabemos onde o vetor começa e onde termina?

ω e depois o raio da trajetória r → A / B !!!

E uma coisa importante: Como se faz produto vetorial mesmo?

Vamos supor que temos os seguintes vetores:

ω → = 4 k ^   r a d / s

E:

r → A / B = 3 i ^ - 5 j ^   m

E queremos fazer o produto vetorial entre eles:

ω → × r → A / B

Isso vai ser igual a:

ω → × r → A / B = ( 4 k ^ ) × 3 i ^ - 5 j ^

Para resolver isso temos que montar a seguinte matriz:

Agora vamos separar em matrizes 2 x 2 para facilitar nossa vida. Para achar a componente x é só cortar a linha e a coluna onde está o i ^ e achar o determinante da matriz que sobrou:

A componente x será:

i ^ 0 4 - 5 0 = 20 i ^

Para as outras componentes é só fazer a mesma coisa e não esquecer de multiplicar por - 1 o resultado da componente y :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 3 - 5 0 = i ^ 0 4 - 5 0 - j ^ 0 4 3 0 + k ^ 0 0 3 4

ω → × r → A / B = 20 i ^ + 12 j ^ + 0 k ^

Beleza?

Agora vamos resolver aquele exemplo para entendermos melhor!

Se quisermos só o módulo da velocidade relativa de A com relação a B é só fazermos:

v → A / B = ω r A / B

O vetor velocidade relativa ( v → A / B ) vai ser sempre perpendicular ao vetor que une os pontos A e B ( r → A / B ) :

Vamos praticar para pegar o jeito!!!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário ω = 4   r a d / s . Para o instante representado, escreva as expressões vetoriais para a a ) velocidade de A com relação a B e para a b ) velocidade de P .

Passo 1

Primeiro, vamos achar a velocidade de A com relação a B :

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B

A velocidade angular está sempre no eixo z . Mas qual é o seu sinal? Repare que a velocidade angular faz o disco girar no sentido horário e este sentido foi o que estabelecemos como negativo:

ω → = - 4 k ^

Repare também que a velocidade angular é a mesma para todos os pontos que pertencem ao disco:

ω → A = ω → B = ω → P = ω → = - 4 k ^

Beleza?

Falta acharmos o valor de r → A / B :

Não se esqueça que o vetor r → A / B vai ter sua origem no ponto B e vai chegar no ponto A , já que o exercício quer a velocidade de A com relação a B .

Como vamos fazer um produto vetorial, vamos decompor o vetor r → A / B :

r → A / B = - 0,3 i ^ + 0,3 j ^   m

Agora é só substituirmos:

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B = - 4 k ^ × - 0,3 i ^ + 0,3 j ^

Vamos montar nossa matriz para fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,3 0,3 0 = ω →   ×   r → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^ + 0 k ^

Então, a velocidade de A com relação a B :

v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade do ponto P . Repare que o ponto P gira em torno do ponto O que é o centro do círculo:

Vamos ter que:

v → P = v → O +   v → P / O

Onde:

v → P / O = ω → × r → P / O

Vamos fazer esse produto vetorial. Sabendo que:

ω → = - 4 k ^

r → P / O = - 0,2 i ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,2 0 0 = i ^ 0 - 4 0 0 - j ^ 0 - 4 - 0,2 0 + k ^ 0 0 0,2 0

ω → × r → P / O = 0 i ^ + 0,8 j ^ + 0 k ^

Então:

v → P / O = ω × r P / O = 0,8 j ^

E a velocidade do ponto O ( v → O )? Como o círculo anda para a direita, então o sentido da velocidade do ponto O é:

Agora é só usarmos a fórmula da rotação para achar o seu módulo:

v O = ω r O

v → O = 1,2 i ^   m / s

Então, a velocidade do ponto P será:

v → P = v → O +   v → P / O

v → P = 1,2 i ^ + 0,8 j ^   m / s

Resposta

a )   v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

b )   v → P = 1,2 i ^ + 0,8 j ^   m / s

Exercício Resolvido #2

Se a extremidade da corda está sendo puxada com velocidade v C = 120   m m / s , determine as velocidades angulares das polias a ) A e   b ) B e a c ) velocidade do bloco D . Suponha que a corda não escorregue nas polias.

Passo 1

Vamos analisar a polia A primeiro. Repare que esta polia está presa, ou seja, ela só pode girar em torno do seu e centro. Então, vamos usar a equação do movimento de rotação:

v A = ω A r A

Qual é a velocidade que a polia A ( v A ) possui? Nesses problemas admitimos que as cordas são inextensíveis, ou seja, elas não variam de comprimento nem nada. Então, a velocidade por toda a corda é a mesma:

v A =   v C

Então, podemos escrever que:

v C = ω A r A

O que queremos saber é a velocidade angular da polia A , então:

ω A = v C r A

Vamos ter:

ω A = 120 30

ω A = 4   r a d / s

Repare que não precisa pssar o raio r A para metros, porque a velocidade foi dada em m m / s !!!

Passo 2

Agora vamos analisar a polia B . Repare que esta polia não está presa, então ele sofre rotação e deslocamento. Quando temos uma polia nesta situação, temos que usar o nosso esquema:

v B = ω B 2 r B

Mas sabemos que a velocidade por toda a corda é a mesma, então:

v B = v C

Podemos reescrever nossa equação assim:

v C = ω B 2 r B

Pronto, agora é só substituir os valores:

120 = ω B 2 ( 60 )

ω B = 1   r a d / s

Passo 3

Está faltando acharmos a velocidade com que o bloco D sobe:

Para achar v D vamos usar os dado que temos do movimento da polia B :

v D = ω B r B

v D = 1 60

v D = 60   m m / s

Resposta

a )   ω A = 4   r a d / s

b )   ω B = 1   r a d / s

c )   v D = 60   m m / s

Exercício Resolvido #3

A unidade A consiste em um motor com redução de alto torque que gira a barra A B na taxa constante θ ˙ = 0,5   r a d / s . A unidade A é livre para se mover ao longo da superfície horizontal. Determine a velocidade v A da unidade A quando θ atinge 60 ° .

Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo... Conforme o ângulo θ aumenta, o ponto A se move para a direta.

Então, vamos ter que:

v → A = v → B + v → A / B

Vamos achar o vetor v → A / B primeiro, lembrando que:

v → A / B = ω → A B × r → A / B

Para isso, temos que decompor r → A / B :

r → A / B = - 500 cos ⁡ 60 ° i ^ - 500 s e n   60 ° j ^   m

r → A / B = - 250 i ^ - 433,013 j ^   m

E o vetor ω → A B fica sempre no eixo z . Falta saber se ele é positivo ou negativo. Mas é só olhar como ele faz a barra girar, que no nosso caso é no sentido anti-horário, ou seja, ω → A B é positivo:

ω → A B = + 0,5 k ^   r a d / s

Pronto! Podemos fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,5 - 250 - 433,013 0 = i ^ 0 0,5 - 433,013 0 - j ^ 0 0,5 - 250 0 + k ^ 0 0 - 250 - 433,013

ω → A B × r → A / B = ( 216,51 i ^ - 125 j ^ )

Então:

v → A / B = 216,51 i ^ - 125 j ^   m m / s

Seu módulo será:

v → A / B = ( 216,51 ) 2 + ( - 125 ) 2

v → A / B = 250   m m / s

O vetor v → A / B fica assim:

Passo 2

Vamos agora analisar o vetor v → B . Repare também que o ponto B tende a girar em torno do ponto fixo C , de modo que a velocidade neste ponto é tangente à trajetória circular

Repare que para achar a velocidade do ponto B , teríamos que achar a velocidade relativa da barra B C :

v → B = ω → B C × r → B / C

Isso daria muito trabalho... Então, vamos usar a lei dos senos:

Mas antes temos que achar esses ângulos entre os vetores. Vamos começar pelo ângulo que o vetor v → B faz com a horizontal:

Repare que o ângulo β que o vetor v → B faz com a horizontal vai ser:

β = 90 ° - φ

Podemos achar quanto vale o ângulo φ pela geometria inicial do nosso problema e utilizando a lei dos senos também:

500 s e n   φ = 750 s e n   60 °

φ = a r c s e n 500 s e n   60 ° 750

Então, este ângulo vai ser:

φ = 35,3 °

Podemos achar o valor de β :

β = 90 ° - φ       →           β = 90 ° - ( 35,3 ° )

β = 54,7 °

Agora vamos achar o ângulo α que o vetor v → A / B faz com relação a horizontal:

tan ⁡ α = 125 216,51     →         α = arctan ⁡ 125 216,51

α = 30 °

Então, já temos até agora:

O ângulo γ será:

γ = 180 ° - ( 54,7 ° + 30 ° )

γ = 95,3 °

Agora podemos aplicar a lei dos senos para achar o valor de v → A :

v A s e n   γ   = v A / B s e n   β     →         v A = 250 s e n   95,3 ° s e n   54,7 °

v A = 305   m m / s

O vetor v → A aponta no sentido positivo do eixo x , então podemos escrever o vetor como:

v → A = + 305 i ^   m m / s

Resposta

v A = 305   m m / s

Exercício Resolvido #4

O mecanismo mostrado na figura foi desenvolvido para dar à lâmina presa no cursor C um golpe lento e retornar rapidamente. Determine a velocidade do cursor C no instante em que θ = 60 ° , se a barra A B gira a 4   r a d / s .

Passo 1

Primeiro vamos entender o que está acontecendo. A barra A B está girando em torno do ponto A fazendo com que a barra B C se mova. O que queremos saber é a velocidade no ponto C . Então, o nosso diagrama cinemático fica assim:

Calma, vamos analisar cada barra separadamente. Mas qual devemos analisar primeiro? A barra que tenha sido dada alguma informação sobre ela na questão. No nosso caso é a barra A B . Repare que o ponto B realiza um movimento circular em torno do ponto A :

Repare que o vetor velocidade é tangente à trajetória. Como o movimento de B é somente de rotação em torno de A , vamos usar a equação do movimento de rotação:

v → B = ω → A B ×   r → B

Passo 2

Precisamos fazer o produto vetorial, então vamos decompor o vetor r B em relação ao eixo x y :

r → B = 0,3 c o s   60 ° i ^ + 0,3 s e n   60 ° j ^

r → B = 0,15 i ^ + 0,26 j ^   m

Sabemos que a velocidade angular tem apenas uma componente no eixo z só falta sabermos se ela aponta para o sentido positivo ou negativo deste eixo. Lembra que definimos que quando a velocidade angular gira no sentido anti-horário ela é positiva? Como ω A B está girando neste sentido, ela é positiva:

ω → A B =   + 4 k ^

Nosso produto vetorial vai ficar assim:

ω → A B ×   r → B = 4 k ^ × ( 0,15 i ^ + 0,26 j ^ )

Para resolver o produto vetorial é só lembrar que para cada componente é só excluir a linha e a coluna correspondente. Se for por exemplo a componente no eixo x :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 0,15 0,26 0 = i ^ 0 4 0,26 0 - j ^ 0 4 0,15 0 + k ^ 0 0 0,15 0,26

Agora é só acharmos os determinantes dessas matrizes 2 x 2 :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 0,15 0,26 0 = - 1,04 i ^ + 0,6 j ^ + 0 k ^

Então, a velocidade no ponto B será:

v → B = ω → A B A B ×   r → B

v → B = - 1,04 i ^ + 0,6 j ^   m / s

Passo 3

Agora vamos fazer nossa análise para a barra B C :

Vamos ter que:

v → C =   v → B + v → C / B

Sendo que a velocidade relativa do ponto C com relação ao ponto B ( v C / B ) é:

v → C / B = ω → B C × r → C / B

Vamos decompor o raio r C / B :

r → C / B = - 0,125 c o s   45 ° i ^ + 0,125 s e n   45 ° j ^

r → C / B = ( - 0,088 i ^ + 0,088 j ^ )   m

A aceleração angular da barra B C também gira no sentido anti-horário, ou seja, ela é positiva:

ω → B C = + ω B C k ^

Então, vamos ter o seguinte produto vetorial:

ω → B C × r → C / B = ( ω B C k ^   ) × ( -   0,088 i ^ + 0,088 j ^ )

Que pode ser escrito assim:

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω B C - 0,088 0,088 0 = i ^ 0 ω B C 0,088 0 - j ^ 0 ω B C - 0,088 0 + k ^ 0 0 - 0,088 0,088

i ^ j ^ k ^ 0 0 ω B C - 0,088 0,088 0 = - 0,088 ω B C i ^ - 0,088 ω B C j ^ + 0 k ^

A velocidade v → C / B será:

v → C / B = ω → B C × r → C / B       →         v → C / B = - 0,088 ω B C i ^ - 0,088 ω B C j ^   m / s  

Passo 4

Agora que sabemos a velocidade relativa de C com relação a A e o valor de v → B vamos substituir na equação para achar v → C :

v → C =   v → B + v → C / B     →         v → C = - 1,04 i ^ + 0,6 j ^ +   - 0,088 ω B C i ^ - 0,088 ω B C j ^