Movimento Relativo: Velocidade

Teoria Completa

Introdução

Se tivermos duas barrinhas articulas entre si:

Se quisermos saber a velocidade que o ponto A tem em relação ao ponto O vamos ter que trabalhar de um jeito diferente com o conceito de velocidade relativa.

Neste capítulo vamos aprender a achar a velocidade relativa entre pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido. Partiu?

  1. Velocidade Relativa

Quando você tem um corpo rígido realizando rotação e translação ao mesmo tempo, e você quer saber a velocidade que um ponto A deste corpo possui com relação a um ponto B que também pertence a esse mesmo corpo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B +   v → A / B

A velocidade relativa de A com relação a B nós chamamos de v → A / B . Ela é a velocidade que um observador que está no ponto B vê o ponto A se movendo.

Mas o ponto que o observador está (ponto B ) sofre os mesmo movimentos de translação que o ponto A que ele está observando:

Ou seja, para um observador no ponto B é como se o ponto A estivesse girando em torno dele:

Repare que o raio desta trajetória é a distância entre os ponto A e B . Então, a velocidade relativa de A com relação a B será calculada usando a equação da rotação:

v → A / B = ω → × r → A / B

Onde, ω → é a velocidade angular do corpo que os pontos A e B pertencem. O vetor velocidade angular está sempre no eixo z   e o seu sentido será dado pela regra da mão direita:

Já o vetor r → A / B é o raio da trajetória circular que o ponto que está sendo observado faz em torno do ponto em que está o observador:

E como sabemos onde o vetor começa e onde termina?

ω e depois o raio da trajetória r → A / B !!!

E uma coisa importante: Como se faz produto vetorial mesmo?

Vamos supor que temos os seguintes vetores:

ω → = 4 k ^   r a d / s

E:

r → A / B = 3 i ^ - 5 j ^   m

E queremos fazer o produto vetorial entre eles:

ω → × r → A / B

Isso vai ser igual a:

ω → × r → A / B = ( 4 k ^ ) × 3 i ^ - 5 j ^

Para resolver isso temos que montar a seguinte matriz:

Agora vamos separar em matrizes 2 x 2 para facilitar nossa vida. Para achar a componente x é só cortar a linha e a coluna onde está o i ^ e achar o determinante da matriz que sobrou:

A componente x será:

i ^ 0 4 - 5 0 = 20 i ^

Para as outras componentes é só fazer a mesma coisa e não esquecer de multiplicar por - 1 o resultado da componente y :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 3 - 5 0 = i ^ 0 4 - 5 0 - j ^ 0 4 3 0 + k ^ 0 0 3 4

ω → × r → A / B = 20 i ^ + 12 j ^ + 0 k ^

Beleza?

Agora vamos resolver aquele exemplo para entendermos melhor!

Se quisermos só o módulo da velocidade relativa de A com relação a B é só fazermos:

v → A / B = ω r A / B

O vetor velocidade relativa ( v → A / B ) vai ser sempre perpendicular ao vetor que une os pontos A e B ( r → A / B ) :

Vamos praticar para pegar o jeito!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 264-5/70

O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário ω = 4   r a d / s . Para o instante representado, escreva as expressões vetoriais para a a ) velocidade de A com relação a B e para a b ) velocidade de P .

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Passo 1

Primeiro, vamos achar a velocidade de A com relação a B :

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B

A velocidade angular está sempre no eixo z . Mas qual é o seu sinal? Repare que a velocidade angular faz o disco girar no sentido horário e este sentido foi o que estabelecemos como negativo:

ω → = - 4 k ^

Repare também que a velocidade angular é a mesma para todos os pontos que pertencem ao disco:

ω → A = ω → B = ω → P = ω → = - 4 k ^

Beleza?

Falta acharmos o valor de r → A / B :

Não se esqueça que o vetor r → A / B vai ter sua origem no ponto B e vai chegar no ponto A , já que o exercício quer a velocidade de A com relação a B .

Como vamos fazer um produto vetorial, vamos decompor o vetor r → A / B :

r → A / B = - 0,3 i ^ + 0,3 j ^   m

Agora é só substituirmos:

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B = - 4 k ^ × - 0,3 i ^ + 0,3 j ^

Vamos montar nossa matriz para fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,3 0,3 0 = ω →   ×   r → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^ + 0 k ^

Então, a velocidade de A com relação a B :

v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade do ponto P . Repare que o ponto P gira em torno do ponto O que é o centro do círculo:

Vamos ter que:

v → P = v → O +   v → P / O

Onde:

v → P / O = ω → × r → P / O

Vamos fazer esse produto vetorial. Sabendo que:

ω → = - 4 k ^

r → P / O = - 0,2 i ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,2 0 0 = i ^ 0 - 4 0 0 - j ^ 0 - 4 - 0,2 0 + k ^ 0 0 0,2 0

ω → × r → P / O = 0 i ^ + 0,8 j ^ + 0 k ^

Então:

v → P / O = ω × r P / O = 0,8 j ^

E a velocidade do ponto O ( v → O )? Como o círculo anda para a direita, então o sentido da velocidade do ponto O é:

Agora é só usarmos a fórmula da rotação para achar o seu módulo:

v O = ω r O

v → O = 1,2 i ^   m / s

Então, a velocidade do ponto P será:

v → P = v → O +   v → P / O

v → P = 1,2 i ^ + 0,8 j ^   m / s

Resposta

a )   v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

b )   v → P = 1,2 i ^ + 0,8 j ^   m / s

Exercício Resolvido #2

R. C. Hibbeler, Dinâmica: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 272-16.68

Se a extremidade da corda está sendo puxada com velocidade v C = 120   m m / s , determine as velocidades angulares das polias a ) A e   b ) B e a c ) velocidade do bloco D . Suponha que a corda não escorregue nas polias.

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Passo 1

Vamos analisar a polia A primeiro. Repare que esta polia está presa, ou seja, ela só pode girar em torno do seu e centro. Então, vamos usar a equação do movimento de rotação:

v A = ω A r A

Qual é a velocidade que a polia A ( v A ) possui? Nesses problemas admitimos que as cordas são inextensíveis, ou seja, elas não variam de comprimento nem nada. Então, a velocidade por toda a corda é a mesma:

v A =   v C

Então, podemos escrever que:

v C = ω A r A

O que queremos saber é a velocidade angular da polia A , então:

ω A = v C r A

Vamos ter:

ω A = 120 30

ω A = 4   r a d / s

Repare que não precisa pssar o raio r A para metros, porque a velocidade foi dada em m m / s !!!

Passo 2

Agora vamos analisar a polia B . Repare que esta polia não está presa, então ele sofre rotação e deslocamento. Quando temos uma polia nesta situação, temos que usar o nosso esquema:

v B = ω B 2 r B

Mas sabemos que a velocidade por toda a corda é a mesma, então:

v B = v C

Podemos reescrever nossa equação assim:

v C = ω B 2 r B

Pronto, agora é só substituir os valores:

120 = ω B 2 ( 60 )

ω B = 1   r a d / s

Passo 3

Está faltando acharmos a velocidade com que o bloco D sobe:

Para achar v D vamos usar os dado que temos do movimento da polia B :

v D = ω B r B

v D = 1 60

v D = 60   m m / s

Resposta

a )   ω A = 4   r a d / s

b )   ω B = 1   r a d / s

c )   v D = 60   m m / s

Exercício Resolvido #3

J.L. Meriam e L.G. Kraige,Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 265-5/73

A unidade A consiste em um motor com redução de alto torque que gira a barra A B na taxa constante θ ˙ = 0,5   r a d / s . A unidade A é livre para se mover ao longo da superfície horizontal. Determine a velocidade v A da unidade A quando θ atinge 60 ° .

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Passo 1

Vamos entender o que está acontecendo... Conforme o ângulo θ aumenta, o ponto A se move para a direta.

Então, vamos ter que:

v → A = v → B + v → A / B

Vamos achar o vetor v → A / B primeiro, lembrando que:

v → A / B = ω → A B × r → A / B

Para isso, temos que decompor r → A / B :

r → A / B = - 500 cos ⁡ 60 ° i ^ - 500 s e n   60 ° j ^   m

r → A / B = - 250 i ^ - 433,013 j ^   m

E o vetor ω → A B fica sempre no eixo z . Falta saber se ele é positivo ou negativo. Mas é só olhar como ele faz a barra girar, que no nosso caso é no sentido anti-horário, ou seja, ω → A B é positivo:

ω → A B = + 0,5 k ^   r a d / s

Pronto! Podemos fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 0,5 - 250 - 433,013 0 = i ^ 0 0,5 - 433,013 0 - j ^ 0 0,5 - 250 0 + k ^ 0 0 - 250 - 433,013

ω → A B × r → A / B = ( 216,51 i ^ - 125 j ^ )

Então:

v → A / B = 216,51 i ^ - 125 j ^   m m / s

Seu módulo será:

v → A / B = ( 216,51 ) 2 + ( - 125 ) 2

v → A / B = 250   m m / s

O vetor v → A / B fica assim:

Passo 2

Vamos agora analisar o vetor v → B . Repare também que o ponto B tende a girar em torno do ponto fixo C , de modo que a velocidade neste ponto é tangente à trajetória circular

Repare que para achar a velocidade do ponto B , teríamos que achar a velocidade relativa da barra B C :

v → B = ω → B C × r → B / C

Isso daria muito trabalho... Então, vamos usar a lei dos senos:

Mas antes temos que achar esses ângulos entre os vetores. Vamos começar pelo ângulo que o vetor v → B faz com a horizontal:

Repare que o ângulo β que o vetor v → B faz com a horizontal vai ser:

β = 90 ° - φ

Podemos achar quanto vale o ângulo φ pela geometria inicial do nosso problema e utilizando a lei dos senos também:

500 s e n   φ = 750 s e n   60 °

φ = a r c s e n 500 s e n   60 ° 750

Então, este ângulo vai ser:

φ = 35,3 °

Podemos achar o valor de β :

β = 90 ° - φ       →           β = 90 ° - ( 35,3 ° )

β = 54,7 °