Movimento Relativo: Velocidade

Teoria Completa

Introdução

Se tivermos duas barrinhas articulas entre si:

Se quisermos saber a velocidade que o ponto A tem em relação ao ponto O vamos ter que trabalhar de um jeito diferente com o conceito de velocidade relativa.

Neste capítulo vamos aprender a achar a velocidade relativa entre pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido. Partiu?

  1. Velocidade Relativa

Quando você tem um corpo rígido realizando rotação e translação ao mesmo tempo, e você quer saber a velocidade que um ponto A deste corpo possui com relação a um ponto B que também pertence a esse mesmo corpo, vamos usar a seguinte equação:

v → A = v → B +   v → A / B

A velocidade relativa de A com relação a B nós chamamos de v → A / B . Ela é a velocidade que um observador que está no ponto B vê o ponto A se movendo.

Mas o ponto que o observador está (ponto B ) sofre os mesmo movimentos de translação que o ponto A que ele está observando:

Ou seja, para um observador no ponto B é como se o ponto A estivesse girando em torno dele:

Repare que o raio desta trajetória é a distância entre os ponto A e B . Então, a velocidade relativa de A com relação a B será calculada usando a equação da rotação:

v → A / B = ω → × r → A / B

Onde, ω → é a velocidade angular do corpo que os pontos A e B pertencem. O vetor velocidade angular está sempre no eixo z   e o seu sentido será dado pela regra da mão direita:

Já o vetor r → A / B é o raio da trajetória circular que o ponto que está sendo observado faz em torno do ponto em que está o observador:

E como sabemos onde o vetor começa e onde termina?

ω e depois o raio da trajetória r → A / B !!!

E uma coisa importante: Como se faz produto vetorial mesmo?

Vamos supor que temos os seguintes vetores:

ω → = 4 k ^   r a d / s

E:

r → A / B = 3 i ^ - 5 j ^   m

E queremos fazer o produto vetorial entre eles:

ω → × r → A / B

Isso vai ser igual a:

ω → × r → A / B = ( 4 k ^ ) × 3 i ^ - 5 j ^

Para resolver isso temos que montar a seguinte matriz:

Agora vamos separar em matrizes 2 x 2 para facilitar nossa vida. Para achar a componente x é só cortar a linha e a coluna onde está o i ^ e achar o determinante da matriz que sobrou:

A componente x será:

i ^ 0 4 - 5 0 = 20 i ^

Para as outras componentes é só fazer a mesma coisa e não esquecer de multiplicar por - 1 o resultado da componente y :

i ^ j ^ k ^ 0 0 4 3 - 5 0 = i ^ 0 4 - 5 0 - j ^ 0 4 3 0 + k ^ 0 0 3 4

ω → × r → A / B = 20 i ^ + 12 j ^ + 0 k ^

Beleza?

Agora vamos resolver aquele exemplo para entendermos melhor!

Se quisermos só o módulo da velocidade relativa de A com relação a B é só fazermos:

v → A / B = ω r A / B

O vetor velocidade relativa ( v → A / B ) vai ser sempre perpendicular ao vetor que une os pontos A e B ( r → A / B ) :

Vamos praticar para pegar o jeito!!!

Expandir

Exercício Resolvido #1

J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 264-5/70

O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário ω = 4   r a d / s . Para o instante representado, escreva as expressões vetoriais para a a ) velocidade de A com relação a B e para a b ) velocidade de P .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 1

Primeiro, vamos achar a velocidade de A com relação a B :

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B

A velocidade angular está sempre no eixo z . Mas qual é o seu sinal? Repare que a velocidade angular faz o disco girar no sentido horário e este sentido foi o que estabelecemos como negativo:

ω → = - 4 k ^

Repare também que a velocidade angular é a mesma para todos os pontos que pertencem ao disco:

ω → A = ω → B = ω → P = ω → = - 4 k ^

Beleza?

Falta acharmos o valor de r → A / B :

Não se esqueça que o vetor r → A / B vai ter sua origem no ponto B e vai chegar no ponto A , já que o exercício quer a velocidade de A com relação a B .

Como vamos fazer um produto vetorial, vamos decompor o vetor r → A / B :

r → A / B = - 0,3 i ^ + 0,3 j ^   m

Agora é só substituirmos:

v → A / B =   ω →   ×   r → A / B = - 4 k ^ × - 0,3 i ^ + 0,3 j ^

Vamos montar nossa matriz para fazer o produto vetorial:

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,3 0,3 0 = ω →   ×   r → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^ + 0 k ^

Então, a velocidade de A com relação a B :

v → A / B = 1,2 i ^ + 1,2 j ^   m / s

Passo 2

Agora vamos achar a velocidade do ponto P . Repare que o ponto P gira em torno do ponto O que é o centro do círculo:

Vamos ter que:

v → P = v → O +   v → P / O

Onde:

v → P / O = ω → × r → P / O

Vamos fazer esse produto vetorial. Sabendo que:

ω → = - 4 k ^

r → P / O = - 0,2 i ^

i ^ j ^ k ^ 0 0 - 4 - 0,2 0 0 = i ^ 0 - 4 0 0 - j ^ 0 - 4 - 0,2 0 + k ^ 0 0 0,2 0

ω → × r → P / O = 0 i ^ + 0,8 j ^ + 0 k ^