Movimento Relativo: Velocidade
Teoria
Introdução
Se tivermos duas barrinhas articulas entre si:
Se quisermos saber a velocidade que o ponto tem em relação ao ponto vamos ter que trabalhar de um jeito diferente com o conceito de velocidade relativa.
Neste capítulo vamos aprender a achar a velocidade relativa entre pontos que pertencem a um mesmo corpo rígido. Partiu?
- Velocidade Relativa
Quando você tem um corpo rígido realizando rotação e translação ao mesmo tempo, e você quer saber a velocidade que um ponto deste corpo possui com relação a um ponto que também pertence a esse mesmo corpo, vamos usar a seguinte equação:
A velocidade relativa de com relação a nós chamamos de . Ela é a velocidade que um observador que está no ponto vê o ponto se movendo.
Mas o ponto que o observador está (ponto ) sofre os mesmo movimentos de translação que o ponto que ele está observando:
Ou seja, para um observador no ponto é como se o ponto estivesse girando em torno dele:
Repare que o raio desta trajetória é a distância entre os ponto e . Então, a velocidade relativa de com relação a será calculada usando a equação da rotação:
Onde, é a velocidade angular do corpo que os pontos e pertencem. O vetor velocidade angular está sempre no eixo e o seu sentido será dado pela regra da mão direita:
Já o vetor é o raio da trajetória circular que o ponto que está sendo observado faz em torno do ponto em que está o observador:
E como sabemos onde o vetor começa e onde termina?
E uma coisa importante: Como se faz produto vetorial mesmo?
Vamos supor que temos os seguintes vetores:
E:
E queremos fazer o produto vetorial entre eles:
Isso vai ser igual a:
Para resolver isso temos que montar a seguinte matriz:
Agora vamos separar em matrizes para facilitar nossa vida. Para achar a componente é só cortar a linha e a coluna onde está o e achar o determinante da matriz que sobrou:
A componente será:
Para as outras componentes é só fazer a mesma coisa e não esquecer de multiplicar por o resultado da componente :
Beleza?
Agora vamos resolver aquele exemplo para entendermos melhor!
Se quisermos só o módulo da velocidade relativa de com relação a é só fazermos:
O vetor velocidade relativa () vai ser sempre perpendicular ao vetor que une os pontos e (:
Vamos praticar para pegar o jeito!!!
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
J.L. Meriam e L.G. Kraige, Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 264-5/70
O disco circular rola sem deslizar com uma velocidade angular no sentido horário . Para o instante representado, escreva as expressões vetoriais para a velocidade de com relação a e para a velocidade de .
Passo 1
Primeiro, vamos achar a velocidade de com relação a :
A velocidade angular está sempre no eixo . Mas qual é o seu sinal? Repare que a velocidade angular faz o disco girar no sentido horário e este sentido foi o que estabelecemos como negativo:
Repare também que a velocidade angular é a mesma para todos os pontos que pertencem ao disco:
Beleza?
Falta acharmos o valor de :
Não se esqueça que o vetor vai ter sua origem no ponto e vai chegar no ponto , já que o exercício quer a velocidade de com relação a .
Como vamos fazer um produto vetorial, vamos decompor o vetor :
Agora é só substituirmos:
Vamos montar nossa matriz para fazer o produto vetorial:
Então, a velocidade de com relação a :
Passo 2
Agora vamos achar a velocidade do ponto . Repare que o ponto gira em torno do ponto que é o centro do círculo:
Vamos ter que:
Onde:
Vamos fazer esse produto vetorial. Sabendo que:
Então:
E a velocidade do ponto ()? Como o círculo anda para a direita, então o sentido da velocidade do ponto é:
Agora é só usarmos a fórmula da rotação para achar o seu módulo:
Então, a velocidade do ponto será:
Resposta
Exercício Resolvido #2
R. C. Hibbeler, Dinâmica: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 272-16.68
Se a extremidade da corda está sendo puxada com velocidade , determine as velocidades angulares das polias e e a velocidade do bloco . Suponha que a corda não escorregue nas polias.
Passo 1
Vamos analisar a polia primeiro. Repare que esta polia está presa, ou seja, ela só pode girar em torno do seu e centro. Então, vamos usar a equação do movimento de rotação:
Qual é a velocidade que a polia () possui? Nesses problemas admitimos que as cordas são inextensíveis, ou seja, elas não variam de comprimento nem nada. Então, a velocidade por toda a corda é a mesma:
Então, podemos escrever que:
O que queremos saber é a velocidade angular da polia , então:
Vamos ter:
Repare que não precisa pssar o raio para metros, porque a velocidade foi dada em !!!
Passo 2
Agora vamos analisar a polia . Repare que esta polia não está presa, então ele sofre rotação e deslocamento. Quando temos uma polia nesta situação, temos que usar o nosso esquema:
Mas sabemos que a velocidade por toda a corda é a mesma, então:
Podemos reescrever nossa equação assim:
Pronto, agora é só substituir os valores:
Passo 3
Está faltando acharmos a velocidade com que o bloco sobe:
Para achar vamos usar os dado que temos do movimento da polia :
Resposta
Exercício Resolvido #3
J.L. Meriam e L.G. Kraige,Mecânica para Engenharia, Estática, 6º ed. RJ: LTC, 2012, pp. 265-5/73
A unidade consiste em um motor com redução de alto torque que gira a barra na taxa constante . A unidade é livre para se mover ao longo da superfície horizontal. Determine a velocidade da unidade quando atinge .
Passo 1
Vamos entender o que está acontecendo... Conforme o ângulo aumenta, o ponto se move para a direta.
Então, vamos ter que:
Vamos achar o vetor primeiro, lembrando que:
Para isso, temos que decompor :
E o vetor fica sempre no eixo Falta saber se ele é positivo ou negativo. Mas é só olhar como ele faz a barra girar, que no nosso caso é no sentido anti-horário, ou seja, é positivo:
Pronto! Podemos fazer o produto vetorial:
Então:
Seu módulo será:
O vetor fica assim:
Passo 2
Vamos agora analisar o vetor . Repare também que o ponto tende a girar em torno do ponto fixo , de modo que a velocidade neste ponto é tangente à trajetória circular
Repare que para achar a velocidade do ponto , teríamos que achar a velocidade relativa da barra :
Isso daria muito trabalho... Então, vamos usar a lei dos senos:
Mas antes temos que achar esses ângulos entre os vetores. Vamos começar pelo ângulo que o vetor faz com a horizontal:
Repare que o ângulo que o vetor faz com a horizontal vai ser:
Podemos achar quanto vale o ângulo pela geometria inicial do nosso problema e utilizando a lei dos senos também:
Então, este ângulo vai ser:
Podemos achar o valor de :
Agora vamos achar o ângulo que o vetor faz com relação a horizontal:
Então, já temos até agora:
O ângulo será:
Agora podemos aplicar a lei dos senos para achar o valor de :
O vetor aponta no sentido positivo do eixo , então podemos escrever o vetor como:
Resposta
Exercício Resolvido #4
R. C. Hibbeler, Dinâmica: Mecânica para Engenharia, 10º ed. SP: Prentice Hall, 2005, pp. 270-16.54
O mecanismo mostrado na figura foi desenvolvido para dar à lâmina presa no cursor um golpe lento e retornar rapidamente. Determine a velocidade do cursor no instante em que , se a barra gira a .
Passo 1
Primeiro vamos entender o que está acontecendo. A barra está girando em torno do ponto fazendo com que a barra se mova. O que queremos saber é a velocidade no ponto . Então, o nosso diagrama cinemático fica assim:
Calma, vamos analisar cada barra separadamente. Mas qual devemos analisar primeiro? A barra que tenha sido dada alguma informação sobre ela na questão. No nosso caso é a barra . Repare que o ponto realiza um movimento circular em torno do ponto :
Repare que o vetor velocidade é tangente à trajetória. Como o movimento de é somente de rotação em torno de , vamos usar a equação do movimento de rotação:
Passo 2
Precisamos fazer o produto vetorial, então vamos decompor o vetor em relação ao eixo :
Sabemos que a velocidade angular tem apenas uma componente no eixo só falta sabermos se ela aponta para o sentido positivo ou negativo deste eixo. Lembra que definimos que quando a velocidade angular gira no sentido anti-horário ela é positiva? Como está girando neste sentido, ela é positiva:
Nosso produto vetorial vai ficar assim:
Para resolver o produto vetorial é só lembrar que para cada componente é só excluir a linha e a coluna correspondente. Se for por exemplo a componente no eixo :
Agora é só acharmos os determinantes dessas matrizes :
Então, a velocidade no ponto será:
Passo 3
Agora vamos fazer nossa análise para a barra :
Vamos ter que:
Sendo que a velocidade relativa do ponto com relação ao ponto () é:
Vamos decompor o raio :
A aceleração angular da barra também gira no sentido anti-horário, ou seja, ela é positiva:
Então, vamos ter o seguinte produto vetorial:
Que pode ser escrito assim:
A velocidade será:
Passo 4
Agora que sabemos a velocidade relativa de com relação a e o valor de vamos substituir na equação para achar :