Enunciado

O membro cilíndrico A B , vazado e de paredes finas, tem uma seção transversal não-circular e espessura não uniforme. Usando a expressão τ dada na Eq. (3.53), da Sec. 3.13, e a expressão para densidade de energia de deformação dada na Eq. (10.19), da Sec. 10.15, mostrar que o ângulo de torção do membro A B é:

ϕ = T L 4 a 2 G ∮ d s t

onde d s é um elemento da linha média da espessura da seção transversal e a é a área limitada por essa linha média.

Passo 1

E aí, meus queridos e minhas queridas! Aproveitando a vida? Então vamos aproveitar mais ainda, resolvendo essa questão de cálculo de ângulo de torção através do método da energia!

A questão quer que a gente calcule o ângulo de torção ϕ de uma barra submetida a um torque T , usando o método da energia. Logo, usaremos uma equação que relaciona a energia U absorvida pela a barra em torção com esse ângulo de torção ϕ pra achar ϕ .

U = T ϕ 2       ⟹       ϕ = 2 T U

U é a energia total absorvida pela barra A B . No entanto, a questão pede que a gente calcule ϕ através da densidade de energia de deformação u . Isso quer dizer que precisamos escrever U em função de u através da integral abaixo.

U = ∫ u   d V

Além disso, a questão pede que a gente use a equação abaixo para encontrar u em função da tensão de cisalhamento τ gerada pela torção. Por fim, o enunciado informa que, para calcular τ temos que usar a equação abaixo.

u = τ 2 2 G                 |                 τ = T 2 t a

onde t é a espessura variável do perfil da barra.

Com todas essas informações em mãos, vamos começar a resolver a questão.

Passo 2

Primeiro, devemos substituir a integral de U na equação de ϕ que deduzimos.

ϕ = 2 T U       ⟹       ϕ = 2 T ∫ u   d V

Agora, substituímos u por sua equação em função de τ .

ϕ = 2 T ∫ u   d V       ⟹       ϕ = 2 T ∫ τ 2 2 G   d V

A terceira etapa é substituir τ pela sua fórmula mostrada no passo 1.

ϕ = 2 T ∫ T 2 t a 2 2 G   d V       ⟹       ϕ = 2 T ∫ T 2 8 t 2 a 2 G   d V

Podemos colocar as constantes pra fora da integral. Mas cuidado! Lembre-se que a espessura t varia ao longo do volume. Logo, t não pode ser tirado da integral!

ϕ = 2 T 2 8 T a 2 G ∫ 1 t 2   d V       ⟹       ϕ = T 4 a 2 G ∫ 1 t 2   d V

A questão pedir pra gente mostrar o valor de ϕ em função de uma integral em d s . No entanto, ao fazer todas essas substituições, só conseguimos chegar em uma equação com uma integral em d V . Por isso, no próximo passo, veremos como transformar a integral com d V em uma com d s .

Passo 3

Para transformar a integral com d V em uma integral com d s , precisamos descobrir quanto vale d V em função de d s . d V é uma pequena parte do volume da barra A B . Podemos ver d V na figura abaixo.

Antes de substituir o valor de d V presente na figura na integral que temos, precisamos lembrar de um fato. Quando mudamos a integral de d V pra integral de d s , devemos mudar o tipo de integral. A integral em d s passa a ser uma integral cíclica porque d s é uma pequena parte de uma curva fechada (um ciclo sem início nem fim). Levando isso em conta:

ϕ = T 4 a 2 G ∫ 1 t 2   d V       ⟹       ϕ = T 4 a 2 G ∮ 1 t 2   L t d s       ⟹       ϕ = T L 4 a 2 G ∮ d s t

Aeeeee! Finalmente chegamos na equação que a questão pedia para a gente demonstrar! Isso é tudo, pessoal!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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