Enunciado

Para a treliça e carregamento indicado no Prob. 10.27, determinar a deflexão vertical do ponto C .

Passo 1

Faaala, pessoa! Como você está? Se estiver desesperado para aprender energia de deformação de treliças, encontrou o lugar certo!

Nessa questão, vemos as treliças C D e B C suportando uma força P . Essa força P faz as treliças B C e C D se deformarem. Por isso, a treliça B C absorve a energia de deformação U B C e a treliça C D absorve a energia de deformação U C D . O enunciado quer saber, quanto a deflexão y C do ponto C a partir da energia de deformação total U que é a soma das energias U B C e U C D .

U = U B C + U C D

y C pode ser calculado a partir de U através da equação abaixo.

U = P y C 2       ⟹       y C = 2 U P

Podemos ver na figura abaixo que, como a treliça B C é forçada com a carga P , ela reage com uma força F B C . O mesmo ocorre com a treliça C D . Ele sofre a ação da força P e reage com uma força F C D . É MUITO importante notar que as forças de reação das treliças F C D e F B C estão SEMPRE na mesma direção das treliças!

Para descobrir quanto vale F B C e F C D precisamos aplicar duas equações de equilíbrio de forças no ponto C . Vamos aplicar a equação do equilíbrio no eixo x .

onde F x são as componentes horizontais das forças P , F B C e F C D .

Também vamos aplicar a equação de equilíbrio no eixo y .

onde F y são as componentes verticais das forças P , F B C e F C D .

Achar as forças F B C e F C D é fundamental para achar U C D e U B C .

U C D e U B C são calculadas usando a equação 10.14 do livro. Essa equação é válida para barras com áreas da seção transversal A constantes, como é o nosso caso!

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E             |             U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

E é o módulo de elasticidade das treliças. O módulo de elasticidade das duas treliças são iguais, porque o enunciado diz que elas são feitas do mesmo material. A B C e A C D são as áreas das seções transversais das treliças. Essas duas áreas são iguais a A como mostra a Fig. 10.27.

Tendo essas informações em mão, podemos calcular F C D no próximo passo.

Passo 2

Vamos começar o cálculo das forças fazendo o equilíbrio de forças na vertical ∑ F y = 0 . Isso é apenas uma escolha. Tanto faz por qual equilíbrio começamos. Poderíamos começar com o equilíbrio das forças na horizontal.

Para fazer o equilíbrio vertical, vamos ver quanto vale a projeção de F C D em y .

Através da figura acima vemos que existem apenas duas forças em y : a projeção da força F C D que vale F C D × sen ⁡ 60 ° e a força P . F B C não tem projeção no eixo y . Como a força P está pra baixo, colocaremos um sinal de menos na frente dela na equação de equilíbrio em y . Como a projeção de F C D está para cima, deixamos um sinal de mais na frente dela!

∑ F y = 0

- P + F C D × sen ⁡ 60 ° = 0

- P + F C D × 3 2 = 0

F C D = 2 P 3

Passo 3

Nesse passo, vamos calcular a força F B C através do equilíbrio de forças na horizontal ∑ F x = 0 .

Através da figura acima vemos que existem apenas duas forças em x : a projeção da força F C D que vale F C D × cos ⁡ 60 ° e a força F B C . P não tem projeção no eixo x . Como as forças F B C e a projeção da força F C D estão pra esquerda, colocaremos um sinal de menos na frente delas na equação de equilíbrio em x .

∑ F x = 0

- F B C - F C D × cos ⁡ 60 ° = 0

- F B C - F C D × 1 2 = 0

F B C = - F C D × 1 2

Substituindo o valor de F C D que encontramos antes:

F B C = - 2 P 3 × 1 2       ⟹       F B C = - P 3

Agora temos as duas forças que precisamos para calcular U B C , U C D e U .

No próximo passo faremos essa conta.

Passo 4

Nesse passo calcularemos U B C , U C D , U e y C !

Vamos começar calculando U B C .

U B C = F B C 2 L B C 2 A B C E

Lembrando que o comprimento L B C da treliça B C vale l , que a área da seção transversal A B C dessa treliça vale A e que F B C vale - P 3 achamos:

U B C = - P 3 2 l 2 A E       ⟹       U B C = 1 3 P 2 l 2 A E

Já achamos uma energia. Agora vamos partir para o cálculo de U C D . Para isso, devemos lembrar que o comprimento L C D da treliça B C vale l cos ⁡ 60 ° , que a área da seção transversal A B C dessa treliça vale A e que F C D vale 2 P 3 .

U C D = F C D 2 L C D 2 A C D E       ⟹       U C D = 2 P 3 2 l cos ⁡ 60 °   2 A E       ⟹       U C D = 4 3 P 2 l 1 / 2   2 A E       ⟹       U C D = 8 3 P 2 l   2 A E

Somando essas duas energias, somos capazes de encontrar U .

U = U B C + U C D       ⟹       U = 1 3 P 2 l 2 A E + 8 3 P 2 l   2 A E       ⟹       U = 9 3 P 2 l 2 A E       ⟹       U = 3 P 2 l 2 A E

Substituindo essa equação na fórmula de y C , achamos:

y C = 2 U P         ⟹         y C = 2 3 P 2 l 2 A E P         ⟹         y C = 3 P l A E

Shooooow! Chegamos no resultado que a gente queria!

Resposta

y C = 3 P l A E

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