Enunciado

A barra de aço B C , de diâmetro 20   m m , é presa à alavanca A B e ao apoio fixo C . A alavanca uniforme de aço tem 10   m m de espessura e 30   m m de largura. Usando o método do trabalho e energia, determinar o comprimento L da barra B C , para que a deflexão do ponto A seja 40   m m . Usar E = 200   G P a e G = 77   G P a .

Passo 1

Fala, galera bonita! Como estão? Bora resolver uma questão de método de trabalho e energia pra mandar gabaritar a prova?

Essa questão mostra uma alavanca A B sendo carregada com uma força P . Essa força faz a alavanca A B sofrer flexão com um momento fletor M B e a barra B C sofrer torção com um torque M B . O enunciado quer saber quanto vale o comprimento L da barra B C que faz a extremidade A da alavanca A B se deformar em y A = 40   m m .

A alavanca A B e a barra B C se deformam, porque absorvem uma energia total U . O enunciado quer que a gente determine o comprimento L através de duas equações que calculam U . A primeira equação, calcula U a partir da força P .

U = P y A 2

A segunda equação, calcula U , somando a energia U B C absorvida pelo eixo B C com a energia U A B absorvida pela alavanca A B .

U = U A B + U B C

Para calcular U A B usamos a equação do exemplo 10.3 do livro que calcula justamente a energia de uma barra que sofre flexão por conta de uma força P .

U A B = P 2 L A B 3 6 E I A B

U B C é obtida usando a equação 10.22 do livro que calcula a energia absorvida por um eixo em torção.

U B C = M B 2 L 2 G J B C

Agora que temos todas essas fórmulas, vamos começar a fazer as contas, calculando o valor do momento de inércia I A B da alavanca A B e do momento polar J B C da barra B C .

Passo 2

Achamos J B C através da fórmula de momento de inércia polar para áreas circulares abaixo. Antes, devemos converter o diâmetro de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

J B C = π × D B C 4 32       ⟹       J B C = π × 20 × 10 - 3 4 32       ⟹       J B C = 1,5708 × 10 - 8   m 4

Encontramos I A B através da fórmula do momento de inércia para áreas quadrangulares abaixo. Antes, devemos converter a largura b e a espessura t de m m pra m , multiplicando eles por 10 - 3 .

I A B = t b 3 12       ⟹       I A B = 10 × 10 - 3 30 × 10 - 3 3 12       ⟹       I A B = 2,25 × 10 - 8   m 4

Agora temos que achar o momento M B para conseguir encontrar U B C !

Passo 3

Calculamos o momento M B , fazendo o equilíbrio de momentos da alavanca A B no ponto B . O equilíbrio de momento diz que a soma dos momentos M B e M P (momento da força P ) deve valer zero. Logo:

M B + M P = 0

No entanto, M P é a força P multiplicada pelo braço de alavanca L A B que vale 0,5   m se convertermos seu valor de m m pra m .

M B + P × L A B = 0       ⟹       M B = - P × L A B       ⟹       M B = - 450 × 0,5       ⟹       M B = - 225   N m

Substituímos os dados nas equações de U A B e U B C para achar as energias de deformação. No entanto, antes disso converter o G e o E de G P a para P a , multiplicando G e E por 10 9 .

U A B = P 2 L A B 3 6 E I A B       ⟹       U A B = 450 2 0,5 3 6 200 × 10 9 2,25 × 10 - 8       ⟹       U A B = 0,9375   J

U B C = M B 2 L 2 G J B C       ⟹       U B C = - 225 2 L 2 77 × 10 9 1,5708 × 10 - 8       ⟹       U B C = 20,9278 × L

Somando U A B com U B C , achamos U .

U = U A B + U B C       ⟹       U = 0,9375 + 20,9278 × L

Substituindo esse valor na primeira fórmula de U e convertendo y A de m m pra m , multiplicando ele por 10 - 3 , achamos:

U = P y A 2       ⟹       0,9375 + 20,9278 × L = 450 0,04 2       ⟹       L = 0,385   m

Boaaaaaaa! Chegamos no final do problema! Parabéns pra gente! :)

Resposta

L = 0,385   m

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