Enunciado

O momento M é aplicado a uma viga com a seção transversal mostrada na figura em um plano formando um ângulo β com a vertical. Determine a tensão no.

  1. Ponto A;
  2. Ponto B;
  3. Ponto D.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como a seção é simétrica, não precisamos determinar a LN, porque ela já vai estar no meio das seções, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Olhando a seção Z apenas com o momento nessa direção teremos que:

    I z z = B h 3 12 - 2 × π r 4 4 = 10   .     6 3 12 - 2 × π 1 4 4 = 178,43   i n 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    σ D = - M z y D I z z

    Com isso teremos que:

    M z = - 38,57   k i p   .   i n

    I z z = 178,43   i n 4

    y A = 3   i n

    y B = 3   i n

    y D = - 3   i n

    σ A = - M z y A I z z = - - 38,57 k i p   .   i n 3   i n 178,43   i n 4 = 0,65   k s i = 650   p s i

    σ B = - M z y B I z z = - - 38,57 k i p   .   i n 3   i n 178,43   i n 4 = 0,65   k s i = 650   p s i

    σ D = - M z y D I z z = - - 38,57 k i p   .   i n - 3 i n 178,43   i n 4 = - 0,65   k s i = - 650   p s i

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Agora temos que tomar um cuidado, o momento de inércia é na direção y, certo? Ou seja, na nossa fórmula de momentos de inércia, o B SEMPRE é paralelo ao eixo analisado, nesse caso o y, e H SEMPRE é perpendicular ao eixo analisado, que é o eixo y, sendo assim teremos que:

I y y = B h 3 12 - 2 ( π r 4 4 + A d 2 )

I y y = B h 3 12 - 2 π r 4 4 + π r 2 d 2 = 6   .     10 3 12 - 2 π 1 4 4 + π 1 2 2,5 2 = 459,16   i n 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A, B e D, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

σ D = M y z D I y y

Com isso teremos que:

M y = 45,96   k i p   .   i n

I y y = 459,16   i n 4

Z A = 5   i n

Z B = - 5 i n

Z D = - 5 i n

σ A = M y z A I y y = 45,96   k i p   .   i n 5   i n 459,16   i n 4 = 0,50   k s i = 500   p s i

σ B = M y z B I y y = 45,96   k i p   .   i n ( - 5 )   i n 459,16   i n 4 = - 0,50   k s i = - 500   p s i

σ D = M y z D I y y = 45,96   k i p   .   i n ( - 5 )   i n 459,16   i n 4 = - 0,50   k s i = - 500   p s i

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A, B e D juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = 650 + 500 = 1150   p s i  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = 650 - 500 = 150   p s i

Sendo assim teremos que para o item c):

σ D = - 650 - 500 = - 1150   p s i  

Resposta

  1. σ A = 1150   p s i  
  2. σ B = 150   p s i
  3. σ D = - 1150   p s i
Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formado um ângulo β com a vertical. Determinar:A tensão no ponto A;A tensão no ponto B;O ângulo que a linha neutra forma co
O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formado um ângulo β com a vertical. Determinar:A tensão no ponto A;A tensão no ponto B;O ângulo que a linha neutra forma co
Duas lâminas de latão são firmemente unidas a um perfil extrudado de alumínio, como mostrado. Usando os dados abaixo, determinar o maior momento fletor permissível, quando o membro composto é curvado
Duas lâminas de latão são firmemente unidas a um perfil extrudado de alumínio, como mostrado. Usando os dados abaixo, determinar o maior momento fletor permissível, quando o membro composto é curvado
O perfilm mostrado é formado pela flexão de uma placa fina de aço. Considerando que a espessura t é pequena quando comparada ao comprimento a dos lados do perfil, determine a tensão (a) no ponto A, (b