Enunciado

O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formado um ângulo β com a vertical. Determinar:

  1. A tensão no ponto A;
  2. A tensão no ponto B;
  3. O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

E por fim, ainda temos que determinar o ângulo que a LN faz com a horizontal, e para isso usaremos a seguinte conta:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

θ = â n g u l o   e n t r e   o   m o m e n t o   f l e t o r e   a p l i c a d o   e   a   h o r i z o n t a l

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Apesar da seção ser assimétrica, a LN nós foi dada, logo não precisamos determinar a LN, porque ela já vai estar indicada nas seções, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Olhando a seção Z apenas com o momento nessa direção teremos que:

    I z z = I 11 + A 1 d 1 2 + I 22 + A 2 d 2 2

    I 11 = B h 3 12 = 90   .     8 0 3 12 = 3840000   m m 4

    I 22 = B h 3 12 = 3 0   .     8 0 3 12 = 1280000   m m 4

    A 1 = 80   x   90 = 7200   m m 2

    A 2 = 30   x   80 = 2400   m m 2

    d 2 = 80 2 + 20 = 60   m m

    d 1 = 80 2 - 20 = 20   m m

    I z z = 3840000 + 7200   .     20 2 + 1280000 + 2400   .     60 2 = 16640000   m m 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A e B, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que:

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    Com isso teremos que:

    M z = 24,15   k N m = 24150000   N m m

    I z z = 16640000   m m 4

    y A = y B = 60   m m

    σ A = - M z y A I z z = - 24150000 N m m   6 0   m m 16640000   m m 4 = - 87,1 N m m 2 = - 87,1   M P a

    σ B = - M z y B I z z = - 24150000 N m m   60   m m 16640000   m m 4 = - 87,1   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Agora temos que tomar um cuidado, o momento de inércia é na direção y, certo? Ou seja, na nossa fórmula de momentos de inércia, o B SEMPRE é paralelo ao eixo analisado, nesse caso o y, e H SEMPRE é perpendicular ao eixo analisado, que é o eixo y, sendo assim teremos que:

I y y = I 1 + I 2

I 1 = B h 3 12 = 80   .     90 3 12 = 4860000   m m 4

I 2 = B h 3 12 = 80   .     3 0 3 12 = 180000   m m 4

I y y = 4860000 + 180000 = 5040000   m m 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A e B, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

Com isso teremos que:

M y = 6,47   k N m = 6470000   N m m

I y y = 5040000   m m 4

Z A = 45   m m

Z B = - 45   m m

σ A = M y z A I y y = 6470000   N m m 45   m m 5040000   m m 4 = 57,77 N m m 2 = 57,77   M P a

σ B = M y z B I y y = 6470000   N m m ( - 45 )   m m 5040000   m m 4 = - 57,77   M P a

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A e B juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = - 87,1 + 57,77 = - 29,33   M P a  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = - 87,1 - 57,77   = - 144,8   M P a  

Passo 3

E agora para o item c) devemos usar a seguinte equação:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

I z z = 16640000   m m 4

I y y = 5040000   m m 4

θ = 1 5 °

T g   ∅ = 16640000 5040000   t a g 1 5 ° = 0,885

∅ = a r c t g   0,885 = 41,5 °

Resposta

  1. σ A = - 29,33   M P a      
  2. σ B = - 144,8   M P a  
  3. ∅ = 41,5 °
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