Enunciado

O momento M é aplicado a uma viga de seção transversal mostrada, em um plano formado um ângulo β com a vertical. Determinar:

  1. A tensão no ponto A;
  2. A tensão no ponto B;
  3. O ângulo que a linha neutra forma com o plano horizontal.

Passo 1

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - M z y I z z + M y z I y y

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M y = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   y

y   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I y y = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

E vamos ver que a melhor forma de determinarmos esses valores vai ser sendo só rotacionar as seções, o que torna tudo mais tranquilo.

E por fim, ainda temos que determinar o ângulo que a LN faz com a horizontal, e para isso usaremos a seguinte conta:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

θ = â n g u l o   e n t r e   o   m o m e n t o   f l e t o r e   a p l i c a d o   e   a   h o r i z o n t a l

Ou seja, precisamos seguir um passo a passo para podermos determinar as tensões, então vamos lá:

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 2

Como a seção é simétrica, não precisamos determinar a LN, porque ela já vai estar no meio das seções, então precisamos determinar os momentos de inércia e as distancias em y e em z, olhando cada direção teremos que:

  • I z z
  • Olhando a seção Z apenas com o momento nessa direção teremos que:

    I z z = 67,4   .   10 6   m m 4

    Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A e B, e para isso precisamos do valor de y, sendo assim teremos que:

    y A = y B = 152,5   m m

    E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

    σ A = - M z y A I z z

    σ B = - M z y B I z z

    Com isso teremos que:

    M z = - 13,787   k N m = - 13787000   N m m

    I z z = 67,4   .   10 6   m m 4     m m 4

    y A = y B = 152,5   m m

    σ A = - M z y A I z z = - - 13787000 N m m   152,5   m m 67,4   .   10 6   m m 4 = + 31,2 N m m 2 = 31,2   M P a

    σ B = - M z y B I z z = - - 13787000 N m m   152,5   m m 67,4   .   10 6   m m 4 = + 31,2   M P a

    Agora vamos ao cálculo na outra direção.

  • I y y

Olhando a seção y apenas com o momento nessa direção teremos que:

Agora temos que tomar um cuidado, o momento de inércia é na direção y, certo? Ou seja, na nossa fórmula de momentos de inércia, o B SEMPRE é paralelo ao eixo analisado, nesse caso o y, e H SEMPRE é perpendicular ao eixo analisado, que é o eixo y, sendo assim teremos que:

I y y = 2,14   .   10 6   m m 4

Nessa seção temos que determinar as tensões no ponto A e B, e para isso precisamos do valor de Z, sendo assim teremos que:

E com isso podemos determinar uma parte da tensão máxima, já que podemos usar a seguinte parte da equação.

σ A = M y z A I y y

σ B = M y z B I y y

Com isso teremos que:

M y = 2,431   k N m = 2431000   N m m

I y y = 2,14   .   10 6   m m 4

Z A = 62,88   m m

Z B = - 17,12   m m

σ A = M y z A I y y = 2431000   N m m 62,88   m m 2,14   .   10 6   m m 4 = 71,43 N m m 2 = 71,43   M P a

σ B = M y z B I y y = 2431000   N m m ( - 17,12 )   m m 2,14   .   10 6   m m 4 = - 19,45   M P a

E com isso podemos determinar a tensão total nos pontos A e B juntando as duas parcelas:

Sendo assim teremos que para o item a):

σ A = 31,2 + 71,43   = + 102,6   M P a  

Sendo assim teremos que para o item b):

σ B = 31,2 - 19,45 = + 11,75   M P a  

Passo 3

E agora para o item c) devemos usar a seguinte equação:

T g   ∅ = I z z I y y   t a g θ

I z z = 67,4   .   10 6   m m 4

I y y = 2,14   .   10 6   m m 4

θ = 10 °

T g   ∅ = 67,4   .   10 6 2,14   .   10 6   t a g 10 ° = 5,55

∅ = a r c t g   5,55 = 79,8 °

Resposta

  1. σ A = + 102,6   M P a      
  2. σ B = + 11,75   M P a  
  3. ∅ = 79,8 °
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