Enunciado

O momento M atua em um plano vertical e é aplicado a uma viga orientada, conforme mostra a figura. Determine a tensão no ponto A.

Passo 1

Fala galerinha, agora vamos entrar em um novo tipo de questão, ainda vamos continuar com os mesmos conceitos que aprendemos até agora, mas com coordenadas diferentes, isso vai acontecer porque a nossa LN não vai ser mais centralizada na vertical ou na horizontal como estamos acostumados, agora ela vai ficar na diagonal, e isso é um novo conceito para nós, pois mudará as nossas equações, por isso, olhando a nossa seção, temos que a nossa LN pode girar do seguinte modo:

Perceba que em pontilhado eu coloquei a LN “original” que chutaríamos para a nossa seção, e em linha cheia está a nossa LN’ que é a que de fato atua na nossa seção.

Até aqui tudo bem certo? Porém, pense no seguinte, nos calculávamos tudo com relação a LN certo? Como calcular com relação a essa nova? É ai que vai entrar o que precisamos. Lembra do nosso velho amigo círculo de mohr? Que nos ajudava a achar tensões máximas? Ele agora vai nos ajudar a achar inercias máximas, e a nossa inércia máxima vai ser exatamente a que atua na nossa LN, então vamos lá, como montar esse circulo de mohr para inércias?

  • Passo 1 – Definido as coordenadas
  • As nossas coordenadas vão ser dadas por:

    P o n t o   m é d i o I z + I y 2   ,   0

    P o n t o   Y I y   , I z y

    P o n t o   Z I z   , I z y

    Assim teremos que:

    P o n t o   m é d i o 6909,5   ; 0

    P o n t o   Y 3621   ; 0,800

    P o n t o   Z 10198   ; 0,800

    Lembrando que todos são multiplicados por 10 6 , mas pra facilitar o cálculo me preocupei apenas com os valores principais. Lembrando das nossas fórmulas do círculo de mohr, podemos determinar as nossas inércias pela seguinte equação:

    R = I z - I y 2 2 + I z y 2

    R = 10198 - 3621 2 2 + 3455 2 = 4769,83

    E as inércias máximas e mínimas serão dadas por:

    I u = I z + I y 2 - R = 6909,5   - 4769,83 = 2139,67

    I v = I z + I y 2 + R = 6909,5 + 4769,83 = 11679,33

    E como temos que lembrar, precisamos multiplicar tudo por 10 6 .

    I v = 11679,33 × 10 3   m m 4

    I u = 2139,67 × 10 3   m m 4

    E o que são v   e   u ? São as novas coordenadas do nosso sistema, assim, temos que:

    Passo 2

    Agora que já temos as inércias, precisamos determinar o ângulo para podermos determinar as coordenadas, e sabe como podemos determinar isso? Lembra da nossa formulazinha do círculo de mohr? Que calculava ângulo? Isso mesmo, vamos usar ela mesmo, assim temos que:

    T g   2 θ m = 2 I y z I z - I y = 2 × 3455 ( 10198 - 3621 ) = 1,05

    2 θ m = 46,4

    θ m = 23,2 °

    Agora que temos o ângulo, podemos analisar tanto o valor de momento quanto os correspondestes de y   e   z nas coordenadas u   e   v , assim, teremos que:

  • MOMENTOS FLETORES
  • M v = 6779 C o s 2 3,2 ° = 6230,8   k N m m = 6230818,5   N m m

    M u = 6779 S e n 2 3,2 ° = 2670,5   k N m m = 2670532   N m m

  • u A  
  • u A = - 99,6 C o s 23,2 ° - 27,4 S e n 23,2 ° = - 102,4   m m

  • v A  

v A = - - 99,6 S e n 23,2 ° - 27,4 C o s 2 3,2 ° = 14,05   m m

Passo 2

Agora só precisamos lembrar que a determinação da tensão é dada pela seguinte equação adaptada:

σ A = - M v u A I v + M u v a I u

Assim temos que:

σ A = - 6230818,5   N m   ( - 102,4 ) [ m m ] 11679,33 × 10 3   m m 4 + 2670532   N m   14,05   [ m m ] 2139,67 × 10 3   m m 4

σ A = 72,16 N m m 2 = 72,16   M P a

Resposta

σ A = 72,16   M P a

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