Enunciado

Uma placa rígida circular com raio de 125   m m está presa a um poste retangular cheio de 150 x 200   m m , com o centro da placa alinhado ao centro do poste. Se uma força P   d e   4 k N for aplicada a E com θ = 30 ° . Determine:

c) O ponto em que a linha neutra intercepta a linha ABD

Passo 1

Pelo item A e B já sabemos que as tensões no ponto A e B são dadas por:

Porém precisamos da tensão no ponto D e C para sabermos por onde a LN passa. Assim vamos calcular primeiro essas tensões.

Passo 2

Para determinação de tensões em elementos que estão sujeitos a momentos fletores inclinados, ou ainda, momentos fletores oblíquos, ou momentos fletores assimétricos, temos a seguinte fórmula:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

Em que:

M z = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   z

M x = p a r c e l a   d o   m o m e n t o   n a   d i r e ç ã o   x

x   e   z = c o o r d e n a d a s   n o   p o n t o   e m   q u e   s e   d e s e j a   s a b e r   a   t e n s ã o   e m   c a d a   d i r e ç ã o

I z z = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   z

I x x = m o m e n t o   d e   i n é r c i a   e m   t o r n o   d e   y

Primeiro temos que determinar os momentos em cada uma das direções, ou seja, vamos abrir os momentos fletores em cada uma das direções, e depois analisamos cada uma das direções, sendo assim teremos que:

Decompondo os momentos fletores teremos que:

Sabemos que os momentos são dados por:

M z = - P r C o s θ

M x = - P r S e n θ

Agora que já temos os momentos fletores em cada direção, podemos analisar cada uma delas separadamente.

Passo 3

Se definirmos a seção dessa seguinte maneira:

Teremos que:

A = b h

I x x = h b 3 12

I z z = b h 3 12

Como queremos a tensão em D, precisamos das coordenadas X e Z do ponto D, sendo assim teremos que:

Substituindo nas tensões teremos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ D = - P b h + - P r C o s θ   .   h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   .   - b 2 h b 3 12

σ D = - P b h - 12 P r C o s θ   .   h 2 b h 3 - 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ D = - P b h - 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

Substituindo teremos que:

P = 4   k N = 4000   N

b = 150   m m

h = 200   m m

r = 125   m m

θ = 30 °

σ D = - 4000 1 5 0   .     20 0 - 6   .     4 000   .   125   .     C o s 30 150   .     20 0 2 - 6   .     4 000   .     125   .     S e n 30 200   .     1 5 0 2 = - 0,900 N m m 2

σ D = - 900   k P a

Como queremos a tensão em C, precisamos das coordenadas X e Z do ponto C, sendo assim teremos que:

Substituindo nas tensões teremos que:

σ = - P A + M z x I z z - M x z I x x

σ C = - P b h + - P r C o s θ   . - h 2 b h 3 12 - - P r S e n θ   . -   b 2 h b 3 12

σ C = - P b h + 12 P r C o s θ   . h 2 b h 3 - 12 P r S e n θ   . b 2 h b 3

σ C = - P b h + 6 P r C o s θ b h 2 - 6 P r S e n θ h b 2

Substituindo teremos que:

P = 4   k N = 4000   N

b = 150   m m

h = 200   m m

r = 125   m m

θ = 30 °

σ C = - 4000 150   .     200 + 6   .     4000   .   125   .     C o s 30 150   .     200 2 - 6   .     4000   .     125   .     S e n 30 200   .     150 2 = - 0,0337 N m m 2

σ C = - 33,7   k P a

Assim temos que todas as tensões que agem são dadas por:

Agora podemos ver a LN passando nas faces em que temos uma diferença entre sinais.

Passo 4

Olhando a face com a reta AB e desenhando o diagrama, teremos que:

633 200 - x = 233 x

633 x = 46600 - 233 x

x = 53,81   m m

E a distância com relação a A é dado por:

200 - x = 146,2 m m

Olhando a face com a reta AC e desenhando o diagrama, teremos que:

633 12 5 - x = 33,7 x

633 x = 4212,5 - 33,7 x

x = 6,32   m m

Assim a LN será:

Resposta

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Sabendo que o componente de máquina mostrado na figura tem uma seção transversal trapezoidal com a = 88,9m m e b = 63,5m m , determine a tensão no (a) ponto A e (b) ponto B.
Usando a equação (4.66), determine a expressão para R dada na Fig. 4.61 para uma seção transversal triangular.
Usando a equação (4.66), determine a expressão para R dada na Fig. 4.61 para uma seção transversal circular.