Enunciado

Um momento fletor de intensidade M é aplicado a uma barra quadrada de lado a. Para cada uma das orientações mostradas, determine a tensão máxima e a curvatura da barra.

Passo 1

Tá legal! Começando pela letra (a), onde temos a viga que não está inclinada, sabemos que a linha neutra estará bem no meio da seção transversal. Nós sabemos também que para uma seção retangular, o momento de inércia é dado por:

I = b h 3 12

Então, substituindo os valores nessa expressão, teremos:

I = a a 3 12 → I = a 4 12

Através do desenho, sabemos também que a distância da linha neutra (que fica no centro) até a extremidade, vai ser metade da altura da seção, ou seja:

c = a 2

Passo 2

E, nós sabemos que a tensão máxima para um momento fletor é dado por:

σ m = M c I

Substituindo as expressões encontradas, chegaremos em:

σ m = M a 2 a 4 12 = M a 2 12 a 4 → σ m = 6 M a 3

Agora vamos encontrar o raio de curvatura da barra para a configuração da letra (a), sabendo que o raio de curvatura pode ser encontrado através de:

1 ρ = M E I

Substituindo a expressão encontrada para o momento de inércia e isolando o raio de curvatura, teremos:

1 ρ = M E a 4 12 → 1 ρ = M E a 4 12 → 1 ρ = 12 M E a 4

ρ = E a 4 12 M

Passo 3

Agora para a letra (b), vamos ter que dividir a seção quadrada em dois triângulos, para que possamos calcular o momento de inércia total da seção. Dividindo a seção em 2 e colocando o eixo de referência no centro, teremos:

Agora, nós sabemos que para um quadrado de lado a , sua diagonal terá comprimento de:

d = a 2

Sendo assim, para as duas seções da figura acima, a base dos triângulos será exatamente a diagonal do quadrado, ou seja:

b = a 2

E a sua altura será metade da diagonal, ou seja:

h = a 2 2

Passo 4

Com isso, podemos calcular o momento de inércia da seção 1, lembrando que o momento de inércia para um triângulo com relação a sua base é dado por:

I = b h 3 12

Substituindo os valores conhecidos, temos:

I 1 = a 2 a 2 2 3 12 = a 2 2 a 3 2 8 12 → 4 a 4 8 12

I 1 = a 4 24

Beleza, devido a simetria da seção, o momento de inércia da região 2 será igual ao da região 1, ou seja:

I 2 = I 1 → I 2 = a 4 24

Então, o momento de inércia total da seção será:

I = I 1 + I 2 = a 4 24 + a 4 24

I = a 4 12

Passo 5

Com isso podemos encontrar a tensão máxima nessa seção, lembrando que a distância da linha neutra até a extremidade corresponde à metade da altura, ou seja, metade da diagonal do quadrado, então teremos:

c = a 2 2

Então, a tensão máxima será:

σ m = M c I

Substituindo os valores conhecidos, temos:

σ m = M a 2 2 a 4 12 = M a 2 2 12 a 4

σ m = 6 M 2 a 3

E, por sua vez, o raio de curvatura será:

1 ρ = M E I

Substituindo a expressão para o momento de inércia para a seção e isolando o raio de curvatura, teremos:

1 ρ = M E a 4 12 → 1 ρ = M E a 4 12 → 1 ρ = 12 M E a 4

ρ = E a 4 12 M

Resposta

a :   σ m = 6 M a 3

a :   ρ = E a 4 12 M

b :   σ m = 6 M 2 a 3

b :   ρ = E a 4 12 M

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