Enunciado

A barra prismática AB é feita de uma liga de bronze para a qual a curva tensão-deformação especifica em tração é mostrada na figura. Considerando que a curva de σ em função de ϵ é a mesma em compressão e em tração, determine:

  1. A tensão máxima na barra quando o raio de curvatura da barra for de 2540 m m e.
  2. O valor correspondente do momento fletor. (ver a sugestão apresentada no problema 4.96)

Passo 1

O item a) é o mais tranquilo de todos, então vamos garantir ele, e depois vamos para o item b) que vamos ter um pouquinho mais de trabalho, mas nada muito absurdo.

Perceba que temos um diagrama que relaciona tensão com deformação especifica, e também temos uma equação que relaciona deformação especifica com o nosso raio de curvatura, e essa equação é dada por:

1 ρ = ϵ m y

O y é muito fácil, é metade da altura da nossa seção, ou seja, temos que:

y = 30 2 = 15 m m

Sabemos pelo enunciado que o raio de curvatura é dado por:

ρ = 2540   m m

Substituindo na nossa equação temos que:

1 2540 = ϵ m 15

ϵ m = 0,0059

Como temos a deformação especifica, podemos usar a tabela para determinar a tensão, assim teremos que:

σ = 301   M P a

Passo 2

Para o item b) queremos determinar os nossos momentos fletores, e relacionando o nosso momento com a nossa integral, teremos que:

M = - b ∫ - c c y σ x d y

Em que c é metade da altura da seção e b é a largura da nossa seção. Quando temos seções retangulares, podemos fazer a seguinte simplificação:

M = - 2 b ∫ 0 c y σ x d y

Podemos definir que:

ϵ = - ϵ m y c

Se definimos que

u = y c

Temos que:

ϵ = - ϵ m u

Podemos definir que:

- u c = y

Derivando dos dois lados temos que:

- c d u = d y

Substituindo teremos que (lembrar que para y a variação era de 0 até c , como estamos mudando para u , a variação vai passar a ser de 0 até 1:

M = 2 b ∫ 0 1 u c σ x c d u

M = 2 b c 2 ∫ 0 1 u σ x d u

M = 2 b c 2 J

Se definimos que:

J = ∫ 0 1 u σ x d u

Podemos fazer uma aproximação numérica para o método de integração, e para isso temos que tomar um certo cuidado, para o método numérico obteremos a seguinte equação:

J = ∆ u 3   ∑ w u σ x

E para isso faremos as seguintes premissas de cálculo:

  • O valor de u varia entre 0 e 1 e faremos isso em intervalos de 0,25   e m   0,25
  • Os valores de w são utilizados no seguinte sentido:
    • Para as extremidades w=1
    • Para as posições impares w=4
    • Para as posições pares w=2

Sabido isso, podemos montar a nossa seguinte tabela de cálculo.

Assim temos que:

J = 0,25 3 ×   1568 = 131   M p a = 131 N m m 2

Substituindo na nossa equação principal, teremos que:

M = 2 × 2 0 m m × 15 2 m m 2 × 131 N m m 2

M = 1179000   N m m = 1,18   k N m

Resposta

  1. σ = 301   M P a
  2. M = 1,18   k N m
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Para a viga indicada, determine.O momento plástico M p O fator de forma da seção transversal.Para a viga do problema 4.7 6 .
Para a viga indicada, determine.O momento plástico M p O fator de forma da seção transversal.Para a viga do problema 4.75 .
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