Enunciado

Montanhas-russas são projetadas de maneira que os passageiros não sintam uma força normal que seja maior do que 3,5 vezes seu peso contra o assento do carrinho. Determine o menor raio de curvatura ρ da pista no seu ponto mais baixo se o carrinho tem velocidade de 1,5 m/s no pico da descida. Despreze o atrito.

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação:

Velocidade do carrinho no pico da descida: v 1 = 1,5   m/s;

Além disso, ele também nos dias que a força normal não deve ser maior que 3,5 vezes o peso do passageiro, logo

N = 3,5   W = 3,5   m g

Devemos determinar o raio de curvatura da pista no seu ponto mais baixo para quando o carrinho tenha velocidade de 1,5 m/s no pico da descida.

Passo 2

Utilizaremos o princípio do trabalho e energia para encontrar o valor da veloscidade do carrinho no ponto mais baixo da descida.

Temos que

T 1 + ∑ U 1 - 2 = T 2

onde

T 1 = 1 2 m v 1 2 = 1 2 m 1,5 2 = 1,125 m

T 2 = 1 2 m v 2 2 = 1 2 m v 2 2

∑ U 1 - 2 = W y 1 - 2 = m g 36 - 3 = 33 m g

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

1,125 m + 33 m g = 1 2 m v 2 2

1,125 + 33 g = 1 2 v 2 2

v 2 2 = 649,71

v 2 = 25,5   m / s

Passo 3

Agora que sabemos a velocidade no ponto mais baixo, podemos aplicar a equação do movimento para descobrir o raio de curvatura.

Temos que

∑ F n = m a n

E que

a n = v 2 ρ

Logo,

∑ F n = m v 2 ρ

No ponto mais baixo da pista, temos

N - W = m v 2 2 ρ

3,5 W - W = m v 2 2 ρ

3,5 m g - m g = m v 2 2 ρ

3,5 g - g = v 2 2 ρ

ρ = v 2 2 2,5 g

ρ = 26,5   m

Resposta

ρ = 26,5   m

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