Enunciado

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Mostre que, no caso de amortecimento supercrucial (c > c c ), um corpo liberado de uma posição arbitrária com uma velocidade inicial arbitrária não pode passar mais de uma vez pela sua posição de equilíbrio.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? Mostre que, no caso de amortecimento supercrucial (c > c c ), um corpo liberado de uma posição arbitrária com uma velocidade inicial arbitrária não pode passar mais de uma vez pela sua posição de equilíbrio

Substituindo as candidaturas iniciais, t = 0 ,               x = x 0 ,             v = v 0 na equação anterior,

x 0 = c 1 + c 2 v 0 = c 1 λ 1 + c 2 λ 2

Resolvendo para c 1     e       c 2 ,

c 1 = ( v 0 - λ 2 - x 0 ) λ 2 - λ 1 c 2 = ( v 0 - λ 1 - x 0 ) λ 2 - λ 1

Passo 2

E substituindo na equação, x = 1 λ 2 - λ 1 [ v 0 - λ 1 x 0 e λ 2 t - v 0 - λ 2 x 0 e λ 1 t ]

Pra x = 0 ,                     t ≠ ∞ : v 0 - λ 1 x 0 e λ 2 t = v 0 - λ 2 x 0 e λ 1 t

e ( λ 2 - λ 1 ) t = ( v 0 - λ 2 - x 0 ) ( v 0 - λ 1 - x 0 )

t = 1 λ 2 - λ 1 In     v 0 - λ 2 - x 0 v 0 - λ 1 - x 0

Isso define um valor de t apenas para x = 0 , que existirá se o log natural for positivo, i.e., e se v 0 - λ 2 - x 0 v 0 - λ 1 - x 0 > 1 . Assumindo, λ 1 < λ 2 < 0 ,   isso ocorre se v 0 < λ 1 x 0 .

Resposta

Isso define um valor de t apenas para x = 0 , que existirá se o log natural for positivo, i.e., e se v 0 - λ 2 - x 0 v 0 - λ 1 - x 0 > 1 . Assumindo, λ 1 < λ 2 < 0 ,   isso ocorre se v 0 < λ 1 x 0 .

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