Enunciado

O regulador mecânico de esferas opera com um eixo vertical O - O . Quando a velocidade no eixo N é aumentada, o raio de rotação das duas esferas de 1,5 kg tende a aumentar, e a massa A de 0 kg é elevada pelo anel B . Determine o valor de em regime permanente para uma velocidade de rotação de 150 rpm. Despreze a massa dos braços e do anel.

Passo 1

Precisamos introduzir o conceito de trabalho virtual para resolver esse problema, já que ele está em regime permanente. A equação da energia cinética para um deslocamento virtual de cada uma das bolas é:

δ T = 2 m a r δ r

Onde r será:

r = 25 m m + ( 100 m m + 50 m m ) s e n β

δ r = δ 25 m m + 100 m m + 50 m m s e n β = 150 m m c o s β δ β

E a r :

a r = - r ω 2

Para a energia potencial gravitacional a equação para um deslocamento virtual é:

δ U g = - 2 m g δ h 1 - m A g δ h 2

Onde δ h 1 é a altura de cada bola, que é escrita como:

δ h 1 = δ 150 m m c o s β = - 150 m m s e n β δ β

E δ h 1 é a altura da massa central:

δ h 1 = δ 2 100 m m c o s β = - ( 200 m m ) s e n β δ β

Passo 2

Resolvendo cada uma das equações:

a r = - ( 25 m m + 100 m m + 50 m m s e n β ) 150 r p m × 2 π 60 s 2

δ T = - 2 ( 1.5 k g ) ( 25 m m + 150 m m s e n β ) 150 r p m × 2 π 60 s 2 150 m m c o s β δ β

δ T = - ( 1.06 s e n β + 10.6 ) c o s β δ β

δ U g = 2 ( 1.5 k g ) ( 9.81 m / s 2 ) 150 m m s e n β δ β + ( 9 k g ) ( 9.81 m / s 2 ) 200 m m s e n β δ β

δ U g = 22.07 J s e n β δ β

Passo 3

E então utilizamos a lei de conservação de energia:

δ T + δ U g = 0

- 1.06 s e n β + 10.6 c o s β δ β + 22.07 J s e n β δ β = 0

Passando um dos termos da soma para o outro lado e cortando δ β e a grandeza física J:

1.06 J s e n β + 10.6 J c o s β = 22.07 J s e n β

1.06 s e n β + 10.6 = 22.07 t g β

E resolvendo pelo método numérico de Newton:

β ≈ 22.5 °

Resposta

β ≈ 22.5 °

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