Enunciado

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Uma moto de 800 kg se move com velocidade constante de 80 km/h morro acima. Determine qual é a força normal que a superfície exerce sobre as suas rodas quando ela chega ao ponto A . Despreze a sua dimensão.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da moto: 800 kg;

Trajetória curva: y 2 = 2 x ;

Velocidade constante: v = 80 km/h = 22,22 m/s

Posição do ponto A : x = 100 m

Nosso objetivo é determinar a força normal N quando a moto chega no ponto   A .

Primeiramente, desenharemos o Diagrama de Corpo Livre da moto.

Onde W = força peso

N = força normal resultante

a t = aceleração tangencial

a n =aceleração normal

Lembre-se que a aceleração normal a n deve apontar no sentido positivo do eixo normal n . Como a aceleração tangencial a t é desconhecida, vamos supor que ela atue na direção de t positiva.

Sabemos que g = 9,81 m/s2 e que

W = M g

a t = d v d t

a n = v 2 ρ

ρ =   1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Onde ρ é o raio de curvatura no ponto onde o corpo está localizado.

Passo 2

Fazendo uma análise da geometria da situação, temos que

y = 2 x = 2 x 1 2

d y d x = 2 2 x 1 2

d 2 y d x 2 = - 2 4 x 3 2

Portanto, para o ponto x = 100 m

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2 x = 100 = 1 + 2 2 ( 100 1 2 )   2 3 2 2 4 ( 100 3 2 ) = 2849,67   m

Passo 3

Em seguida, devemos encontrar o ângulo θ .

Olhando novamente o diagrama de corpo livre, podemos ver que

tan ⁡ θ = d y d x

Para o ponto x = 100 m

θ = tan - 1 ⁡ d y d x x = 100 = tan - 1 ⁡ 2 2 x 1 2 x = 100 = 4,045 °

θ = 4,045 °

Passo 4

Agora utilizaremos a Equação do movimento para encontrar a força N no ponto A .

∑ F n = m a n

W cos ⁡ θ - N = M a n

800 9,81 cos ⁡ 4,045 ° - N = 800 22,22 2 2849,67

N = 7689,82   N

Resposta

N = 7,69   k N

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