Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 14.Problemas - Ex. 88

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desse livro

O carrinho de montanha-russa tem massa de 800 kg, incluindo seus passageiros. Se ele é solto do repouso no topo da estrutura A, determine a altura mínima h da estrutura de maneira que o carrinho dê a volta nos dois loops internos sem deixar os trilhos. Despreze o atrito, a massa das rodas e a dimensão do carrinho. Qual é a reação normal sobre o carrinho quando ele está em B e em C?

Passo 2

Com referência definida na figura representativa, para determinação da altura na posição A, faz-se necessário aplicar o princípio da conservação de energia entre os pontos (A) e (B).

As energias potenciais, exclusivamente gravitacionais, no caso, podem ser escritas através de:

( V g ) A = m g h A

( V g ) B = m g h B

A energia cinética para os dois pontos é expressa por:

( T ) A =   m v A 2 2

( T ) B =   m v B 2 2

Analisando os pontos em questão:

Ponto A: Origem do sistema.

  • Pela referência definida, tem-se que a consequência imediata será h A =0.
  • O carrinho parte do repouso no ponto A, i.e., v A =0 .

Em uma situação de imediata saída de A, o diagrama de corpo livre e a posição B nos fornecem as seguintes informações acerca do comportamento do fenômeno:

  • A altura relativa ao ponto B, isto é, uma altura intermediária entre o ponto A e B é definida por, de acordo com a origem A:
  • h B =   - h - 20 m

  • Na posição intermediária aos pontos A e B, nota-se uma trajetória curvilínea, satisfazendo a utilização adequada do sistema de coordenadas normal-tangencial, sendo assim, como não há forças no sentido tangencial, a análise será voltada completamente ao normal. Sabendo que o raio de curvatura da trajetória que engloba B é de 10 m, tem-se:

+ ↓ ∑ F n = m * a n              

P = m *   v B 2 ρ

m * g = m *   v B 2 ρ

g * ρ =   v B 2

v B = 9,904   m / s  

Passo 3

Identificadas as energias atuantes no sistema, admitindo que sejam conservativas, o princípio de conservação da energia mecânica será:

E M = C o n s t a n t e

E M = T + V

T A + V A = T B   +   V B

Substituindo as expressões no balanço energético, tem-se que:

m v A 2 2 + mg h A =  m v B 2 2  + m g h B

Passo 4

Com as conclusões acerca dos pontos inicial e final da análise, a expressão de conservação de energia será:

800* 0 2 2 + 800*9,81*0   =   800* 9,904 2 2  - 800* 9,81* ( h - 20)  

0  + 0  = 39235,7 - 7848(h - 20)

  7848(h - 20)  = 39235,7

  (h - 20)  =  392 35,7 7848

h - 20 = 5

h = 25   m

Passo 5

Para que o carrinho execute os dois loops sem deixar os trilhos, a condição necessária para isso é que a Força normal seja nula, desse modo, caracterizando a pior condição para o problema, resultando na mínima altura h.

Então, para N B = 0 , realiza-se uma análise do ponto A ao ponto C, pelo princípio da conservação da energia mecânica, mantendo a origem em A:

E M = C o n s t a n t e

E M = T + V

T A + V A = T C   +   V C

Substituindo as expressões no balanço energético, tem-se que:

m v A 2 2 + mg h A =  m v C 2 2  + m g h C

800* 0 2 2 + 800*9,81*0 =  800* v C 2 2  - 800*9,81*(2 5  -14)

  0  + 0 = 400* v C 2  -   86328

400* v C 2   =  86328

v C 2 =  86328 400

v C = 14,69 1   m / s

Passo 6

Para determinar a força normal atuando em C, realizando a análise do sistema de coordenadas para a coordenada normal com sentido positivo para baixo e com ρ = 7m , tem-se que:

+ ↓ ∑ F n = m * a n              

P +   N C = m *   v C 2 ρ

m * g + N C   = m *   v C 2 ρ

N C =   m *   v C 2 ρ - m * g    

N C =   m   v C 2 ρ - g

N C =   800 *   14,69 1 2 7 - 9,81

N C = 16817 , 1 4   N             ∴       N C = 16 ,   817   k N    

Resposta

Desse modo, para que o carrinho execute os dois loops e permaneça nos trilhos, é necessária que a altura mínima seja h = 25 m conjuntamente com v B = 9,904 m/s e v C = 14, 691 m/s. A força normal em C para manter a condição de não saída dos trilhos será de N C = 16,817 kN.

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