Enunciado

O movimento de uma partícula é definido pela relação x = 2t3 - 15t2 + 24t + 4, onde x e t são expressos em metros e segundos, respectivamente. Determine (a) quando a velocidade é zero, (b) a posição e a distância total percorrida quando a aceleração é zero.

Passo 1

E ai galera tudo certo? O enunciado pede que a gente determine (a) quando a velocidade é zero, (b) a posição e a distância total percorrida quando a aceleração é zero.

A nossa equação é:

x = 2 t 3 - 15 t 2 + 24 t + 4

Pra achar a velocidade a gente deriva x em relação a t :

v = d x d t = 2 × 3 × t 3 - 1 - 15 × 2 × t 2 - 1 + 24 × 1 × t 1 - 1

v = 6 t 2 - 30 t + 24

E pra achar a aceleração a gente deriva v em relação a t :

a = d v d t = 6 × 2 × t 2 - 1 - 30 × 1 × t 1 - 1

a = 12 t - 30

Passo 2

  1. Quando a velocidade é zero:
  2. A gente só precisa igualar a equação da velocidade a zero:

    0 = 6 t 2 - 30 t + 24

    Resolvendo a equação de segundo grau: (usando Bhaskara mesmo ou a forma que você preferir)

    t = - b ± b 2 - 4 a c 2 a

    t = - - 30 ± - 30 2 - 4 × 6 × 24 2 × 6

    t = 1   s ou t = 4   s

    Passo 3

  3. A posição e a distância total percorrida quando a aceleração é zero:

- Vamos primeiro achar quando a aceleração é zero. Vai ser só igualar a equação da aceleração a zero:

a = 12 t - 30 = 0            

t = 2.5   s

Daí a gente consegue achar a posição nesse instante, que é só substituir esse t na equação da posição:

x = 2 t 3 - 15 t 2 + 24 t + 4

x = 2 × 2,5 3 - 15 × 2,5 2 + 24 × 2,5 + 4

x = 1,5   m

Passo 3

Pra achar a distância total percorrida até quando a aceleração é zero, que é tem t = 2,5   s .

Maaaasss vamos com muita calma. Repara que em 2,5   s que tem um instante ( t = 1   s ) que a velocidade é zero, então ela vai mudar de positivo pra negativo, então é como se a partícula andasse pra frente e pra trás, sacou??

Então vamos calcular o a distância percorrida de t = 0   s até t = 1   s e depois calcular a distância de t = 1   s até t = 2,5 . E depois é só somar e ser feliz.

- em t = 0   s :

x 0 = 2 × 0 3 - 15 × 0 2 + 24 × 0 + 4

x 0 = 4   m

- em t = 1   s :

x 1 = 2 × 1 3 - 15 × 1 2 + 24 × 1 + 4

x 1 = 15   m

- em t = 2,5   s :

x 2,5 = 2 × 2,5 3 - 15 × 2,5 2 + 24 × 2,5 + 4

x 2,5 = 1,5   m

- Na parte que a velocidade é positiva (de t = 0   s até t = 1   s ):

d + = x 1 - x 0

d + = 15 - 4

d + = 11   m

- Na parte que a velocidade é negativa ( t = 1   s até t = 2,5 ):

d - = | x 2,5 - x 1 |

d - = 1,5 - 15

d - = - 13,5 = 13,5   m

Então, pra distância total:

d = d + + d -

d = 11 + 13,5

d = 24,5   m

Resposta

a )   t = 1   s ou t = 4   s

b )   Posição final   x = 1.50   m

d = 24.5   m

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