Enunciado

Pacotes tendo massa de 25 kg são passados para a calha de escoamento a v A = 0,9 m/s utilizando-se uma calha transportadora. Determine suas velocidades quando eles chegam aos ponts B , C e D . Calcule também a força normal da calha sobre os pacotes em B e C . Despreze o atrito e a dimensão dos pacotes.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa dos pacotes: m = 25   kg;

Velocidade em A : v A = 0 , 9 m/s;

Raio de curvatura: ρ = 1,5 m.

Devemos determinar a velocidade dos pacotes nos pontos B , C e D e a força normal da calha sobre os pacotes em B e C .

Inicialmente, vamos desenhar o diagrama de corpo livre da caixa para os pontos B e C , respectivamente, para visualizar melhor a situação:

Onde W = m g é a força peso e N é a força normal. Como a trajetória é circular, o corpo sofrerá uma aceleração normal a n .

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar os dados no Ponto B :

Aplicando o Princípio do Trabalho e Energia, temos

T A + ∑ U A - B = T B

onde

T A = 1 2 m v A 2 = 1 2 25 0 , 9 2 = 10,125

T B = 1 2 m v B 2 = 1 2 ( 25 ) v B 2

∑ U A - B = W y = m g 1,5 - 1,5 cos ⁡ 30 ° = 49,286

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

10,125 + 49,286 = 25 2 v B 2

v B 2 = 4,75

v B = 2 , 18   m / s

Agora, utilizando a Equação do Movimento, temos

∑ F n = m a n

N B - W cos ⁡ 30 ° = - m a B

N B = - 25 a B + 25 9,81 cos ⁡ 30 °

O valor da aceleração é negativo pois ela aponta na direção oposta ao eixo de referência desenhado. A aceleração normal sempre aponta para o centro da circunfernência.

Sabemos que

a n = v 2 ρ

Logo, no ponto B ,

N B = - 25 v B 2 ρ + 25 9,81 cos ⁡ 30 ° = 133,2   N

Passo 3

Em seguida, vamos analisar os dados no Ponto C :

Aplicando o Princípio do Trabalho e Energia, temos

T A + ∑ U A - C = T C

onde

T A = 1 2 m v A 2 = 1 2 25 0 , 9 2 = 10,125

T C = 1 2 m v C 2 = 1 2 ( 25 ) v C 2

∑ U A - B = W y = m g 1,5 cos ⁡ 30 ° = 318,59

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

10,125 + 318,59 = 25 2 v C 2

v C 2 = 26,3

v C = 5,128   m / s

Agora, utilizando a Equação do Movimento, temos

∑ F n = m a n

N C - W cos ⁡ 30 ° = m a C

N C = 25 a C + 25 9,81 cos ⁡ 30 °

Sabemos que

a n = v 2 ρ

Logo, no ponto C ,

N B = 25 v C 2 ρ + 25 9,81 cos ⁡ 30 ° = 650,7   N

Passo 4

Agora vamos analisar os dados no Ponto D :

Aplicando o Princípio do Trabalho e Energia, temos

T A + ∑ U A - D = T D

onde

T A = 1 2 m v A 2 = 1 2 25 0 , 9 2 = 10,125

T D = 1 2 m v D 2 = 1 2 ( 25 ) v D 2

∑ U A - D = W y = m g 1,5 = 367,875

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

10,125 + 367,875 = 25 2 v D 2

v D 2 = 30,24

v D = 5 , 5   m / s

Resposta

v B = 2,18   m / s

N B = 133,2   N

v C = 5,128   m / s

N C = 650,7   N

v D = 5,5   m / s

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