Enunciado

O bloco de 1 kg desliza para baixo pela superfície parabólica lisa de tal maneira que quando ele está em A ele tem uma velocidade de 3 m/s. Determine a intensidade da velocidade e aceleração do bloco quando ele chega ao ponto B , e a altura máxima y m á x alcançada pelo bloco.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa do bloco: m = 1 kg;

Superfície lisa: força de atrito desprezível;

Velocidade em A : v A = 3 m/s;

Trajetória: y = 0,8 x 2 .

Devemos determinar a intensidade da velocidade e aceleração do bloco quando ele chega ao ponto B e a altura máxima y m á x atingida por ele em C .

Incialmente, desenhamos o diagrama de corpo livre do bloco nos pontos B e C , respectivamente:

Onde W = m g é a força peso e N é a força normal.

Como a trajetória é circular, o corpo sofrerá uma aceleração normal a n .

Passo 2

Primeiramente, vamos analisar os dados no Ponto B :

Sabemos que y = 0,8 x 2 , logo

y A = 0,8 ( - 1,2 ) 2 = 1,152

y B = 0,8 ( 0,3 ) 2 = 0,072

Aplicando o Princípio do Trabalho e Energia, temos

T A + ∑ U A - B = T B

onde

T A = 1 2 m v A 2 = 1 2 1 3 2 = 4,5

T B = 1 2 m v B 2 = 1 2 ( 1 ) v B 2

∑ U A - B = W y = m g ( y A - y B ) = 10,6

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

4 , 5 + 10,6 = 0,5 v B 2

v B 2 = 30,2

v B = 5,49   m / s

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a aceleração do bloco em B .

Esta aceleração é composta por uma componente tangencial e uma normal:

a 2 = a n 2 + a t 2

Nesta parte da resolução, utilizaremos as Equações de Movimento, porém, precisamos descobrir o ângula α primeiro.

Sabemos que

d y d x = tan ⁡ α = 1,6 x

Para x = 0,3 , tan ⁡ α = 0,48 , resultando em

α = 25,64 °

No eixo t , temos:

∑ F t = m a t

- W sen ⁡ 25,64 ° = m a t

a t = - 4,25   m / s 2

Sabemos que

a n = v 2 ρ

E que

ρ = 1 + d y d x 2 3 2 d 2 y d x 2

Logo, no ponto B ,

a n = v B 2 ρ = v B 2 d 2 y d x 2 1 + d y d x 2 3 2 = 30,2 1,6 1 + 1,6 0,3 2 3 2

a n = 25,76   m / s 2

Portanto, a = 26,11   m / s 2 .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a altura máxima y m á x atingida pelo bloco em C .

Como neste ponto o bloco atinge altura máxima, sua velocidade será nula ( v C = 0 ).

Aplicando o Princípio do Trabalho e Energia, temos

T A + ∑ U A - C = T C

onde

T A = 1 2 m v A 2 = 1 2 1 3 2 = 4,5

T C = 1 2 m v C 2 = 0

∑ U A - C = - W y = m g ( y m á x - y A ) = - 9,81 ( y m á x - 0,8 ( 1,2 2 ) )

Substituindo esses valores na equação inicial, obtemos

4,5 - 9,81 ( y m á x - 1,152 ) = 0

y m á x = 1,61   m

Resposta

v B = 5,49   m / s

a B = 26,11   m / s 2

y m á x = 1,61   m

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