Enunciado

O parafuso de aço A-36 é apertado dentro de um furo de modo que o torque de reação na haste A B pode ser expresso pela equação   t   =   ( k x ² )   N . m / m , onde x é dado em metros. Se um torque T   =   50   N . m for aplicado à cabeça do parafuso, determine a constante k e a quantidade de torção nos 50   m m de comprimento da haste. Considere que a haste tem um raio constante de 4   m m .

Passo 1

Olá, pessoal! Vamos lá analisar esse problema?

O enunciado pede o ângulo de torção na haste e, para isso, teremos de descobrir a constante k para calcular o valor do carregamento de reação.

Vamos então anotar os dados que temos:

T = 50   N ⋅ m

t x = k ⋅ x 2 N ⋅ m

L = 0,05   m

R B = 4   m m = 0,004   m

Aço A-36, portanto, G a ç o = 75 ⋅ 10 9   P a

Só com os dados iniciais é possível calcular o momento polar de inércia da seção circular da haste:

J B A = π 2 ⋅ ( c B A 4 )

J B A = π 2 ⋅ 0,004 4 = 4,0212 ⋅ 10 - 10 m 4

Passo 2

Primeiro, temos que descobrir a constante k , e para isso vamos usar um trecho muito importante do enunciado: “O parafuso de aço A-36 é apertado dentro de um furo de modo que o torque de reação na haste A B pode ser expresso pela equação t ( x ) = k ⋅ x 2 N ⋅ m ”.

Com isso podemos igualar os torques no parafuso: o torque produzido pelo carregamento, T c , com o torque T aplicado na cabeça do parafuso.

T = T c

Temos que T c é o toque total produzido pelo carregamento, o somatório dos torques em cada mínimo comprimento ( d x ), ou seja,

T c = ∫ 0 0,05 k ⋅ x 2 ⋅ d x

T c = k ⋅ x 3 3 0 0,05 = k ⋅ 4,166 ⋅ 10 - 05 N ⋅ m

T c = k ⋅ 4,166 ⋅ 10 - 05 = T

k ⋅ 4,166 ⋅ 10 - 05 = 50

k = 50 4,166 ⋅ 10 - 05

k = 1200000   N / m 2

Com o valor da constante encontrado, temos que o valor do torque produzido pelo carregamento a um comprimento x é:

T c = ∫ 0 x k ⋅ x 2 ⋅ d x

T c = k ⋅ x 3 3 0 x = k ⋅ x 3 3 = 12 ⋅ 10 5 ⋅ x 3 3

T c = 4 ⋅ 10 5 ⋅ x 3   N ⋅ m

O torque que provocara o ângulo de torção é dado pelo torque da cabeça do parafuso menos o torque do carregamento, pois como podemos observar na figura a seguir, eles estão em sentidos opostos.

Com isso temos que:

T x = 50 - 4 ⋅ 10 5 ⋅ x 3

Passo 3

Agora nos resta calcular o ângulo de torção ϕ :

ϕ = ∫ 0 0,05 T x ⋅ d x J ⋅ G a ç o = 1 J ⋅ G a ç o ∫ 0 0,05 50 - 4 ⋅ 10 5 ⋅ x 3 ⋅ d x  

ϕ = 1 4,0212 ⋅ 10 - 10 ⋅ 75 ⋅ 10 9   ∫ 0 0,05 50 - 4 ⋅ 10 5 ⋅ x 3 ⋅ d x  

ϕ = 0,03316 ⋅ 50 x - 4 ⋅ 10 5 ⋅ x 4 4 0 0,05

ϕ = 0,03316 ⋅ 50 ⋅ 0,05 - 4 ⋅ 10 5 ⋅ 0,05 4 4

ϕ = 0,062175   r a d

Convertendo para radianos:

0,062175   r a d ⋅ 180 π

ϕ = 3,56 °

Resposta

k = 1200000   N / m 2

ϕ = 3,56 °

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