Enunciado

Na parte baixa do loop em um plano vertical, um aeroplano tem velocidade de 150 m/s e está acelerando a uma taxa de 25 m/s2. O raio de curvatura do loop é 2.000 m. O aeroplano está sendo controlado pelo radar em O. Qual é o valor registrado de r ˙ , r ¨ , θ ˙ e θ ¨ para esse instante?

Passo 1

O exercício pede que a gente encontre valor registrado de r ˙ , r ¨ , θ ˙ e θ ¨ para esse instante

Geometria. As coordenadas polares são

v = 800 2 + 600 2 = 1000   m             θ = tan - 1 600 800 = 36.87 °

Análise de velocidade.

v = 150   m/s   →

v r = 150 cos ⁡ θ = 120   m/s

v θ = - 150 sin ⁡ θ = - 90   m/s

v r = r ˙

v θ = r θ ˙             θ ˙ = v θ r = - 90 1000

Passo 2

Análise de aceleração.

a t = 25   m/ s 2

a n = v 2 ρ = 150 2 2000 = 11.25   m/ s 2

a = 25   m/ s 2 → + 11.25   m/ s 2 ↑   = 27.41   m/ s 2     24.23 °

β = 24.23 °

θ - β = 12.64 °

Passo 3

a r = a cos ⁡ θ - β = 27.41 cos ⁡ 12.64 ° = 26.74   m/ s 2

a θ = - a sin ⁡ θ - β = - 27.41 sin ⁡ 12.64 ° = - 6.00   m/ s 2

a r = r ¨ - r θ ˙ 2             r ¨ = a r + r θ ˙ 2

r ¨ = 26.74 + 1000 0.0900 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

θ ¨ = a θ r - 2 r ˙ θ ˙ r = - 6.00 1000 - 2 120 - 0.0900 1000

Resposta

r ˙ = 120   m/s

θ ˙ = - 0.0900   rad/s

r ¨ = 34.8   m/ s 2

θ ¨ = - 0.0156   rad/ s 2

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