Enunciado

116- A transição entre as cargas de 10   k N / m e 37   k N / m é obtida por meio de uma função cúbica da forma w = k 0 + k 1 x + k 2 x 2 + k 3 x 3 , cuja inclinação vale zero nos seus pontos extremos, x = 1   m e x = 4   m . Determine as reações em A e B.

Passo 1

A primeira coisa a se fazer nesse tipo de questão é dividir nossa área em três partes de modo a isolar a função cúbica das outras funções, da seguinte forma:

A região retangular 1 contribui com uma força na viga igual a:

F 1 = 10 k N m × 1 m = 10   k N  

Na posição igual a:

x - 1 = 1 2 = 0.5   m

E a região retangular 3 contribui com uma força na viga igual a:

F 3 = 37 k N m × 1 = 37   k N

Na posição de:

x - 3 = 4 + 1 2 = 4.5   m

Passo 2

Já a região precisamos resolver ela algebricamente para encontrarmos suas constantes. Considerando que essa função começa em x = 1 e vai de x = 4 podemos aplicar os pontos e valores nela para ver no que vai dar.

Para x = 1 temos w = 10

w = k 0 + k 1 x + k 2 x 2 + k 3 x 3

10 = k 0 + k 1 + k 2 + k 3

Agora para x = 4 temos w = 37

37 = k 0 + 4 k 1 + 16 k 2 + 64 k 3

E como é dito que a função não tem inclinação onde x = 1 e x = 4 logo temos:

d d x k 0 + k 1 x + k 2 x 2 + k 3 x 3 = k 1 + 2 k 2 x + 3 k 3 x 2

Para x = 1 :

k 1 + 2 k 2 + 3 k 3 = 0

Para x = 4 :

k 1 + 8 k 2 + 48 k 3 = 0

O que nos dá o seguinte sistema de equações:

k 0 + k 1 + k 2 + k 3 = 10

k 0 + 4 k 1 + 16 k 2 + 64 k 3 = 37

k 1 + 2 k 2 + 3 k 3 = 0

k 1 + 8 k 2 + 48 k 3 = 0

Se fizemos esse sistema pelo método da montante, ou pelo método da matriz inversa nós encontraremos como resposta.

k 0 = 21 ;     k 1 = - 24 ;       k 2 = 15 ;     k 3 = - 2

O que nos dará como equação:

w = 21 - 24 x + 15 x 2 - 2 x 3

Passo 3

Encontrando a força resultante causada por essa equação nós teremos:

F r = ∫ 1 4 21 - 24 x + 15 x 2 - 2 x 3 d x = 21 x - 12 x 2 + 5 x 3 - x 4 2 1 4

= 84 - 192 + 320 - 128 - 21 - 12 + 5 - 0.5 = 70.5   k N

E será na posição de:

x - = 1 70.5 × ∫ 1 4 x 21 - 24 x + 15 x 2 - 2 x 3 d x = 1 70.5 ∫ 1 4 21 x - 24 x 2 + 15 x 3 - 2 x 4 d x

x - = 1 70.5 21 x 2 2 - 8 x 3 + 15 x 4 4 - 2 x 5 5 1 4

1 70.5 168 - 512 + 960 - 409.6 - 21 2 + 8 - 15 4 + 2 5 = 2.84   m

Passo 4

O que faz com que nossa viga tenha a seguinte equivalência:

Se fizermos a somatória das forças verticais ser zero nós encontramos:

R a + R b = 10 + 70.5 + 37 = 117.5   k N

Agora fazendo a somatória dos momentos em A ser zero nós teremos:

10 × 0.5 + 70.5 × 2.84 + 37 × 4.5 = R b × 5

R b = 74.344   k N

Logo R a será :

R a = 117.5 - 74.344 = 43.156   k N

Resposta

R a = 43.156   k N

R b = 74.344   k N

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