Enunciado

Uma partícula de massa m se movimentando em uma dimensão tem energia potencial U(x) = U0[2(x/a)2 – (x/a)4], onde U0 e a são constantes positivas.

  1. Determine a força F(x) atuando sobre a partícula.
  2. Faça um gráfico de U(x). Determine as posições de equilíbrio estável e instável.
  3. Qual será a frequência angular ω das oscilações em torno do ponto de equilíbrio?
  4. Qual será a velocidade mínima que a partícula deverá ter na origem para escapar para o infinito?
  5. Em t = 0, a partícula encontra-se na origem e sua velocidade é positiva e igual em magnitude à velocidade do item (d). Determine x(t) e faça um gráfico do resultado.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de mecânica Newtoniana.

Item a

A partir do que o enunciado nos forneceu teremos:

F x = - d U d x = - U 0 4 x a 2 - 4 x 3 a 4 = - 4 U 0 x a 2 1 - x 2 a 2

Passo 2

Item b

O gráfico de U(x):

Quando F = 0, há equilíbrio; além disso, quando U tem um mínimo local (ou seja, dF/dx 0) é instável.

Assim, pode-se ver que neste problema x = a e x = –a são posições de equilíbrio instáveis, e x = 0 é uma posição de equilíbrio estável.

Passo 3

Item c

Em torno da origem temos que:

F ≈ - 4 U 0 x a 2 = - k x = > k = 4 U 0 a 2

Como a frequência é dada por:

ω = k m

Temos que:

ω = 4 U 0 a 2 m = 2 a U 0 m

Passo 4

Item d

Para escapar para o infinito de x = 0, a partícula precisa chegar pelo menos ao pico do potencial:

m v m í n 2 2 = U m á x = U 0 = > v m í n = 2 U 0 m

Passo 5

Item e

Pela conservação de energia temos:

m v 2 2 + U 0 x 2 a 2 = m v m í n 2 2 = > d x d t = v = 2 U 0 m 1 - x 2 a 2

Notamos que, no caso ideal, como a velocidade inicial é a velocidade de escape encontrada em d), idealmente x é sempre menor ou igual a constante a, então da expressão acima:

t = m 2 U 0 ∫ 0 x d x 1 - x 2 a 2 = m a 2 8 U 0 ln ⁡ a + x a - x

= > x t = a exp ⁡ t 8 U 0 m a 2 - 1 exp ⁡ t 8 U 0 m a 2 - 1

O gráfico é apresentado a seguir:

Resposta

Ver passo a passo.

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