Enunciado

Uma partícula se move ao longo da espiral mostrada na figura. Determine a intensidade da velocidade da partícula em termos de b, θ , θ ˙ .

Passo 1

Espiral hiperbólica.

r = b θ

Do Problema 11.173

r ˙ = - b θ 2 θ ˙

r ˙ = - b θ 2 θ ˙ + 2 b θ 3 θ ˙ 2

a r = r ¨ - r θ ˙ 2 = - b θ 2 θ ¨ + 2 b θ 3 θ ˙ 2 - b θ θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙ = b θ θ ¨ + 2 - b θ 2 θ ˙ θ ˙ = b θ θ ¨ - 2 b θ 2 θ ˙ 2

Passo 2

Como θ ˙ = ω = constante, θ ¨ = 0, escrevemos:

a r = + 2 b θ 3 ω 2 - b θ ω 2 = b ω 2 θ 3 2 - θ 2

a θ = - 2 2 θ 2 ω 2 = b ω 2 θ 3 2 θ

a = a r 2 + a θ 2 = b ω 2 θ 3 2 - θ 2 2 + 2 θ 2 = b ω 2 θ 3 4 - 4 θ 2 + θ 4 + 4 θ 2

Resposta

a = b ω 2 θ 3 4 + θ 2

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