Enunciado

Uma partícula está se movendo ao longo de uma linha reta com uma aceleração de a = 12 t - 3 t 1 / 2   m / s 2 , onde t é dado em segundos. Determine a velocidade e a posição da partícula como uma função do tempo. Quando t = 0 , v = 0 e s = 15   m .

Passo 1

Estamos frente a um problema com aceleração dada! Para resolver, vamos primeiro invocar a definição da aceleração:

a = d v d t

Com base nesta equação, podemos determinar v t e, a seguir, usando v = d s d t , podemos obter também s ( t ) . Vamo nessa!

Passo 2

Para a = 12 t - 3 t 1 / 2 , podemos integrar a equação a = d v d t em t , aplicando a condição de que v t = 0 = 0 . Ou seja

∫ 0 t a d t = ∫ 0 t 12 t - 3 t 1 / 2 d t = ∫ 0 t d v d t d t

Dai,

6 t 2 - 2 t 3 / 2 = v - 0

A velocidade em função do tempo é portanto

v = 6 t 2 - 2 t 3 / 2

Passo 3

A posição em função do tempo é determinada de forma semelhante, mas agora integrando a equação v = d s d t :

∫ 0 t v d t = ∫ 0 t 6 t 2 - 2 t 3 / 2 d t = ∫ 0 t d s d t d t

Daí,

2 t 3 - 4 5 t 5 / 2 = s - 15

Logo,

s = 2 t 3 - 4 5 t 5 2 + 15

Resposta

v = 6 t 2 - 2 t 3 / 2

s = 2 t 3 - 4 5 t 5 2 + 15

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